1、第3讲命题及其关系、充要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果既有pq，又有qp，记作：pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件做
2、一做1设a，b是向量，命题“若ab，则有|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab答案：D2命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1B若，则tan 1C若tan 1，则D若tan 1，则答案：C3(2014高考浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即ACBD.当四边形ABCD中ACBD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要A
3、C与BD互相平分综上知，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件 1辨明两个易误点(1)易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论(2)注意区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)；与A的充分不必要条件是B(BA且A B)两者的不同2充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件做一做4“
4、在ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为：“_”解析：原命题的条件：在ABC中，C90，结论：A、B都是锐角否命题是否定条件和结论即“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角”答案：在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角5“1x2”是“x0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命
5、题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确综上可知正确的说法有.答案：_充分条件、必要条件的判断(高频考点)_充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题(1)(2014高考广东卷)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asi
6、n B”的 ()A充分必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分非必要条件(2)(2015郑州市第二次质量预测)函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Dab(3)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_.扫一扫进入91导学网()充要条件解
7、析(1)由正弦定理，知ab2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)sin Asin B故选A.(2)f(x)为奇函数且xR，故f(0)0b0.又f(x)f(x)，即x|xa|x|xa|，得|xa|xa|，|xa|xa|恒成立，需a0.综上可知，ab0，即a2b20，故选C.(3)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对
8、于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若B60，则sin A，注意到ba，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.答案(1)A(2)C(3)规律方法充要条件问题的解题策略：(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)
9、充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可2.(1)已知p：“a，b，c成等比数列”，q：“b”，那么p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2015北京东城区质检)若集合Ax|x25x40，Bx|xa|4Ca1 Da1解析：(1)选D.若a，b，c成等比数列，则有b2ac，所以b，所以充分性不成立当abc0时，b成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件(2)选A.由题意知Ax|1x4，Bx|1ax1a，若BA，则解得2a3，所以必要性不成立反之，若2a4是命题为真的充分不必
10、要条件_充分条件、必要条件的应用_已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件解(1)由MPx|5x8，得3a5，因此MPx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有a0，故“a0”是“MPx|55.实数a的取值范围为(5，)规律方法利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来
11、，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且q p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.3.已知p：x1，q：(xa)(xa1)0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：綈q：(xa)(xa1)0axa1.由p是綈q的充分不必要条件知：a且a110a.答案：0，,学生用书P9)方法思想等价转化思想在充要条件中的应用已知p：2x10，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，由
12、q：x22x1m20(m0)，得1mx1m，设q：Qx|1mx1m，p：Px|2x10，p是q的充分而不必要条件，PQ，或即m9或m9.m9.名师点评本题将“綈p是綈q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用1.(2013高考山东卷)给定两个命题p、q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由q綈p且綈pq可得p綈q且綈p，所以p是綈q的充分不必要条件2已知命题p：x22x30；命题
13、q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，)B(，1C1，) D(，3解析：选A.由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.1命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y，则x2y2”C“若xy，则x2y2” D“若xy，则x2y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”2设集合AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必
14、要条件解析：选C.由题意得ABxR|x2，CxR|x2，故ABC，则“xAB”是“xC”的充要条件3下列命题中为真命题的是()A命题“若x1，则x21”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题解析：选B.对于选项A，命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，分析可知选项B应为真命题；对于选项C，命题“若x1，则x2x20”的否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故选项C
15、为假命题；对于选项D，命题“若x21，则x1”的逆否命题为“若x1，则x21，故选项D为假命题综上可知，选B.4命题“若ABC有一内角为，则ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题5在斜三角形ABC中，命题甲：A，命题乙：cos B，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为ABC为斜三角形，所以若A，则B且B，所以cos B且cos B0；反
16、之，若cos B，则B，不妨取B，A，C，满足ABC为斜三角形，所以选A.6与命题“若aM，则bM”等价的命题是_解析：原命题与其逆否命题为等价命题答案：若bM，则aM7有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_解析：原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则xy0”，正确原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，正确答案：8已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，：|x1|1，0x2
17、，可看作集合Bx|0x2又是的必要不充分条件BA，a0.答案：(，09(2015河南开封调研)已知命题p：“若ac0，则一元二次方程ax2bxc0没有实根”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论解：(1)命题p的否命题为：“若ac0，则一元二次方程ax2bxc0有实根”(2)命题p的否命题是真命题证明如下：ac0b24ac0一元二次方程ax2bxc0有实根该命题是真命题10指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：ab2，q：直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设l，m均为直线，为平面，其中l，m，p：l，q
18、：lm.解：(1)若ab2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离dr，所以直线与圆相切反之，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故p是q的充分不必要条件(2)若|x|x，则x2xx2|x|0成立反之，若x2x0，即x(x1)0，则x0或x1.当x1时，|x|xx，因此，p是q的充分不必要条件(3)l lm，但lml，p是q的必要不充分条件. 1已知向量a(sin ，cos )，b(cos ，sin )，且a与b的夹角为，则“|ab|1”是“60”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.由条件可知|a|b|1，若|ab|1，则(ab)21，即a2b2
19、2ab1，所以112cos 1，即cos ，故60.同理，若60，则|ab|1也成立故“|ab|1”是“60”的充分必要条件2(2015浙江省名校联考)一次函数yx的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()Am1，且n1 Bmn0，且n0 Dm0，且n0，0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为nm30”是“sin A”的充分不必要条件；“函数f(x)tan(x)为奇函数”的充要条件是“k(kZ)”其中真命题的序号是_(把真命题的序号都填上)解析：“若x2x60，则x2”的否命题是“若x2x60，则x30”是“sin A”的必要不充分条件，是假命题；“函数f(x)tan(x
20、)为奇函数”的充要条件是“(kZ)”，是假命题答案：4已知集合Ax|2x8，xR，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：Ax|2x8，xRx|1x3，xB成立的一个充分不必要条件是xA，AB，m13，即m2.答案：(2，)5已知Px|x28x200，Sx|1mx1m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的取值范围(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的取值范围解：由x28x200，得2x10，所以Px|2x10(1)因为xP是xS的充要条件，所以PS，所以所以这样的m不存在(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP，所以所以m3.综上，可知m3时，xP是xS的必要条件6(选做题)已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件解：mx24x40是一元二次方程，m0.又另一方程为x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，解得m.两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，m为4的约数又m，m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数；而当m1时，两方程的根均为整数，两方程的根均为整数的充要条件是m1.