1、2.1向量的概念及表示1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念.(重点)，2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义.(重点、难点)，3.理解向量的几何表示.(重点)基础初探教材整理1向量的定义及表示阅读教材P59图212以上部分内容，完成下列问题.定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)有向线段就是向量(
2、)(2)向量就是有向线段()(3)有向线段可以用来表示向量()【答案】(1)(2)(3)2.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有_(填序号)【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量【答案】教材整理2向量的有关概念及其表示阅读教材P59图212以下内容至P60例2以上内容，完成下列问题.名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量a与b平
3、行(或共线)，记作ab相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作ab相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作a判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab，bc，则ac.()(2)若ab，则a与b的方向一定相同或相反()(3)若非零向量，那么ABCD.()(4)向量可以比较大小()【解析】(1)正确(2)0与任何向量共线，但0方向任意，故(2)错误(3)，A，B，C，D可能共线，故(3)错误(4)因为向量有方向性，故向量不能比较大小【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型向量的概念给出下列命题：向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线
4、向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_【精彩点拨】解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假【自主解答】错误.0的模为零正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上【答案】1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)2涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量3.对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可再练一题1.判断下列命题是否
5、正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；【解】(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任一向量平行.向量的表示一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，
6、最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量，；(2)求|.【精彩点拨】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解【自主解答】(1)如图：(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD.又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200(千米)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.再练一题2.在如图211的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.图211(1)试以B为终点画一个向量b，使ba
7、；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？【解】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)探究共研型共线向量探究1两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？【提示】不一定平行探究2若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？【提示】向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)探究3向量平行具备传递性吗？举例说明【提示】向量的平行不具备传递性，即
8、若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a，c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.如图212，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点图212(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量. 【导学号：48582071】【精彩点拨】结合相等向量、共线向量的概念，对(2)(3)作出判断，结合正三角形的性质对(1)作出判断【自主解答】(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同
9、向共线2寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量再练一题3.如图213，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形，图213(1)图中与共线的向量有_；(2)图中与相等的向量有_；(3)图中与模相等的向量有_；(4)图中与相等的向量有_；(5)图中与互为相反向量的有_【解析】(1)ABCD，A，B，E三点共线，与，共线(2)ABBE，且与方向相同，.(3)ABBCCDDABE，|.(4)EC綊BD，.(5)|，且与方向相反，与互为相反向量【答案】(1)，、(2)(3)，(4)(5)
10、1下列说法正确的是_零向量的长度为零；零向量与任一向量都是共线向量；零向量没有方向；零向量的方向是任意的【解析】零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，错【答案】2.下列命题中，正确的是_a，b是两个单位向量，则a与b相等；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；共线的单位向量必是相等向量【解析】若a与b中有一个是零向量，则a与b共线【答案】3.如图214，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|_.图214【解析】由于正方形的对角线长为2，|.【答案】4如图215所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.在以A，B，C，D
11、，E，F，O为起点或终点的向量中：图215(1)模与a的模相等的向量有_个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有_(3)与a共线的向量有_(4)请一一列出与a，b，c相等的向量_.【解】(1)满足条件的向量有23个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有，.(3)与a共线的向量有，.(4)与a相等的有，；与b相等的有，；与c相等的有，.【答案】(1)23(2)，(3)，(4)与a相等的有，；与b相等的有，；与c相等的有，5.在如图216所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：图216(1)，使|4，点A在点O北偏东45；(2)，使|4，点B在点A正东；(3)，使|6，点C在点B北偏东30. 【导学号：48582072】【解】(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示