1、31.3两角和与差的正切1.了解两角和与差的正切公式的推导过程2.理解正切公式的结构特征3.能运用公式化简、求值和证明,学生用书P64)两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan()T，k，kZ，且tan tan 1两角差的正切tan()T，k，kZ，且tan tan 11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)tan能用公式tan()展开()(2)存在，R，使tan()tan tan 成立()(3)对任意，R，tan()都成立()答案：(1)(2)(3)2已知tan 2，则tan()A3B3C4 D4答案：A3.()A BC D答案：A4tan 105_答案：2利用公式求
2、值学生用书P64求值：(1)；(2)tan 23tan 37tan 23tan 37.【解】(1)原式tan(6015)tan 451.(2)因为tan 60，所以tan 23tan 37tan 23tan 37，所以tan 23tan 37tan 23tan 37.公式T的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T中，如果分子中出现“1”，常利用1tan 来代换，以达到化简求值的目的，如tan；tan.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan()的变形公式 求下列各式的值：(1)tan ；(2)；(3)tan 78tan 33
3、tan 78tan 33.解：(1)tan tan2.(2)原式tan(7515)tan 60.(3)tan 451，所以tan 78tan 331tan 78tan 33，所以tan 78tan 33tan 78tan 331.给值求角(值)学生用书P65已知tan()，tan ，(0，)，求2.【解】tan tan().又因为(0，)，所以(0，)tan(2)tan()1.因为tan ，(0，)，所以(，)，所以(，0)由tan()0，得(，)，所以2(，0)，又tan(2)1，所以2.解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公
4、式求解(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小已知tan()2，tan()，(0，)，(，0)(1)求tan 的值；(2)求2的值解：(1)由tan()2，得tan .(2)因为tan(2)tan()1，又(0，)，(，0)，得2(0，)，所以2.三角变换在三角形中的应用学生用书P65在ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan B1tan Atan B，判断ABC的形状【解】由tan Atan(BC)tan(BC)，又0A180，所以A120.由tan Ctan(AB)，又0C180，所以C30，B30.所以ABC是顶角为1
5、20的等腰三角形利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和ABC180这一隐含条件的运用 如图所示，在ABC中，ADBC，垂足为D，且BDDCAD236，求BAC的度数解：因为BDDCAD236，则设BD2x，DC3x，AD6x.所以在ABD中，tanBAD，在ACD中，tanDAC，所以tanBACtan(BADDAC)1.而0BAC180，所以BAC45.1公式的适用范围由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即它们不能为k(kZ)2公式的逆运用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常
6、数值代换，如tan1，tan，tan等特别要注意tan()，tan().3公式的变形运用只要见到tan tan ，tan tan 时，就要有灵活应用公式T的意识，从而不难找到解题思路在解题时切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式，那样会凭空增加计算量，而且容易出错，先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法1已知tan 4，cot ，则tan()()ABC D解析：选B.因为cot ，所以tan 3.所以tan().2tan 10tan 20(tan 10tan 20)的值是_解析：因为tan 30tan(1020) .所以(tan 10tan 20)1tan 10tan 20，移项得，ta
7、n 10tan 20(tan 10tan 20)1.答案：13已知tan()，tan ，则tan _解析：tan tan().答案：,学生用书P129(单独成册)A基础达标1tan 285的值等于()A2B2C2 D2解析：选C.tan 285tan(36075)tan 75tan(4530)2.2设向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，则tan等于()A BC3 D3解析：选B.由ab2cos sin 0，得tan 2.tan.3已知tan ，tan()，那么tan(2)的值为()A BC D解析：选B.tan(2)tan(2)tan().4若，则tan()A2 B2C D解析
8、：选C.因为，所以，所以tan 3.所以tan.5已知A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x25x10的两个实数根，则ABC的形状是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定解析：选A.由题意，知tan Atan B，tan Atan B，所以tan(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以C为钝角，故选A.6已知tan()3，tan ，那么tan _解析：因为tan ，又tan()3，所以tan .答案：7tan 67tan 22tan 67tan 22_解析：因为tan 67tan 22tan(6722)(1tan 67tan 22)1tan 67t
9、an 22，所以tan 67tan 22tan 67tan 221tan 67tan 22tan 67tan 221.答案：18已知tan tan 2，tan()4，则tan tan _解析：因为tan()，所以1tan tan ，所以tan tan 1.答案：9已知tan ，tan 是方程6x25x10的两根，且0，求的值解：因为tan 、tan 是方程6x25x10的两根，所以tan tan ，tan tan ，tan()1，因为0，所以2，所以.10已知tan()，tan().(1)求tan()的值；(2)求tan 的值解：(1)因为tan()，所以tan ，所以tan().(2)tan
10、 tan().B能力提升11已知直线l1：x2y10，倾斜角为，直线l2：x3y10，倾斜角为，则_解析：由题意可知，tan ，tan ，所以0，.所以0，所以tan()1，所以.答案：12._解析：因为tan 18tan 42tan 120tan 60(1tan 18tan 42)tan 120tan 60tan 18tan 42，所以原式1.答案：113已知AB45，求证：(1tan A)(1tan B)2，并应用此结论求(1tan 1)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 44)的值解：因为tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)且AB45，即tan Atan
11、 B1tan Atan B，所以(1tan A)(1tan B)tan Atan B1tan Atan B1tan Atan B1tan Atan B2，即(1tan A)(1tan B)2.因为14445，24345，222345，所以(1tan 1)(1tan 44)2，(1tan 2)(1tan 43)2，(1tan 22)(1tan 23)2，所以原式2222,22个 222.14(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos ，cos .由于，为锐角，所以sin ，sin .从而tan 7，tan ，所以tan()3.(2)因为tan(2)tan()1，又0，0，所以02，从而2.
