1、13三角函数的图象与性质13.1正弦函数的图象与性质第1课时正弦函数的图象与性质1.了解由单位圆中的正弦线转化为正弦函数图象的过程2.理解正弦函数的性质3掌握五点法作图及正弦函数的图象与性质的求解及其应用,学生用书P16)1正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出ysin x，x0，2的图象，要想得到ysin x(xR)的图象，只需将ysin x，x0，2的图象沿x轴平移2，4，即可，此时的图象叫做正弦曲线，如图所示(2)“五点法”作ysin x，x0，2的图象时，所取的五点分别是(0，0)，(，0)，和(2，0)2正弦函数的图象和性质函数ysin x图象定义域xR值域1，1奇偶性奇函数周期2单
2、调性在每一个闭区间2k，2k(kZ)上是增函数；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上是减函数最大值与最小值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin13周期函数(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期的定义对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期1用“五点法”画ysin x，x0，2的图象时，下列点不是关键点的是()ABC(，0) D(2，0)解析：选A.由“五点法
3、”知五个关键点分别为(0，0)，(，0)，(2，0)，故选A.2函数ysin(x)，x0，2的简图是()解析：选B.ysin(x)sin x与ysin x关于x轴对称3用“五点法”作出函数y2sin x，x0，2的简图解：列表：x022sin x02020描点、连线、绘图，如图所示用“五点法”画有关正弦函数的图象学生用书P17用“五点法”画出函数y3sin x(x0，2)的图象【解】(1)列表，如表所示：x02sin x010103sin x32343(2)描点，连线，如图所示(1)在利用关键的五个点描点作图时要注意，被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x0，2附近，函数图象上升或下降得快
4、一些，曲线“陡”一些；在x，附近，函数变化得慢一些，曲线变得“平缓”(2)在解题过程中，常用“五点法”作出简图，使计算更加快捷作出函数y|cos|的图象解：因为y|cos(x)|sin x|，所以只需作出ysin x的图象，并将x轴下方的部分作关于x轴的对称部分即可x02sin x01010|sin x|01010正弦函数奇偶性的判断及应用学生用书P18判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x).【解】(1)因为xR，f(x)sincos，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin为偶函数(2)函数应满足1sin x0，所以函数的定义域为x|xR，且x2k，kZ因
5、为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)lg.解：(1)由2sin x10，即sin x，得函数定义域为2k，2k(kZ)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称所以函数f(x)为非奇非偶函数(2)由0，得(1sin x)(1sin x)0，所以1sin x1，所以xk(kZ)函数定义域关于原点对称因为f(x)lglglglgf(x)，所以函数f(x)lg为奇函数正弦函数的定义域、值域
6、及单调性问题学生用书P18求下列函数的定义域、值域及单调递增区间(1)y2sin；(2)ylogsin x.【解】(1)因为ux取任意实数，y2sinu函数都有意义，所以x可取任意实数，故函数的定义域为R.又因为1sinu1，22sinu2，所以函数的值域为2，2因为y2sin2sin，所以函数y2sin的递增区间就是函数y2sin的递减区间所以2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数y2sin的递增区间为(kZ)(2)由sin x0得2kx2k，kZ，所以函数ylogsin x的定义域为(2k，2k)(kZ)，设usin x，则0u1，又ylogu是减函数，所以函数ylogsin
7、x值域为0，)因为1，所以函数ylogsin x的递增区间即为usin x的递减区间，所以2kx2k(kZ)故函数ylogsin x的递增区间为(kZ)(1)求函数定义域通常是解不等式组，在求解综合性较强的含三角函数的复合函数的定义域时，则常利用数形结合，在函数图象或单位圆中表示各不等式所表示的角，然后取各部分的公共部分(即交集)(2)求函数的值域常见的几种类型：求有关yAsin(x)b，xR的最值或值域这类题目的关键在于充分利用正弦函数ysin x的有界性，即|sin x|1.形如ypsin2xqsin xr(p0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成给定区间m，n上求二次函数最值的
8、问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题来求解若是含有三角函数的复合函数，则需根据复合函数的组成，在定义域内，由内层到外层分步求得函数的值域(3)求函数的单调区间时：求 yAsin(x)的单调区间时，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，即把x代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性 求函数y2cos2x2sin x3，x的最大值和最小值解：y2(1sin2x)2sin x32sin2x2sin x12.因为x，所以sin x1.当sin x1时，yma
9、x5；当sin x时，ymin.1ysin x，x0，2的图象画法中，几何法要统一单位(用于严格作图)，五点法要求注意弯曲方向2奇偶性的判断步骤是：(1)求定义域；(2)观察f(x)与f(x)关系；(3)下结论单调性是对一个函数的某个区间而言的，如不能说ysin x在第一象限是增函数，这种说法是错误的，应当说它在区间(kZ)上是增函数另外，求yAsin(x)的单调区间一定要先注意的符号再换元，若为负，应先利用诱导公式将其化为正，然后由复合函数单调性去求解1用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A0，2B0，C0，2，3，4 D0，解析：选B.令2x0，2，得x0
10、，.2函数y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在上是增函数，在上是减函数解析：选B.函数y4sin x和函数ysin x的单调性一致，由ysin x的图象可知选B，而D中“在上是增函数”表述错误3设M和m分别是函数ysin x1的最大值和最小值，则Mm_解析：因为sin x1，1，所以ysin x1.则M，m，所以Mm2.答案：24比较大小：sin_sin.解析：sinsin，sinsin.因为0，且ysin x在上单调递增所以sinsin，即sinsin.答案：,学生用书P89(单独成册)A
11、基础达标1下列命题中正确的有()ysin x的递增区间为2k，2k(kZ)；ysin x在第一象限是增函数；ysin x在，上是增函数A1个B2个C3个 D0个解析：选A.由ysin x的单调性知错，正确2y1sin x，x0，2的图象与y交点的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C. 如图，y1sin x，x0，2的图象与y的图象有两个交点3已知aR，函数f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a等于()A0 B1C1 D1解析：选A.定义域为R.所以f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|.所以|a|0，所以a0.4若函数f(x)sin，x，则函数f(x)的最大值是()A
12、BC D解析：选D.因为x，所以.因为0sin，所以0sin，即y.5函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba 的最大值和最小值之和为()A B2C4 D解析：选B. 如图所示，结合题意知，ba的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值的和为2.6函数ycos是_函数(奇偶性)解析：因为ycossinx.设ysinxf(x)，则f(x)sinsinx，所以f(x)f(x)所以该函数为奇函数答案：奇7函数ysin2xsin x1的值域为_解析：令sin xt，t1，1，所以yt2t1，因为t1，1，所以y.答案：8函数ysin2x6sin x10的最大值是_，最小值是_解析：令sin xt
13、，t1，1，则t26t10(t3)21，所以最大值为17，最小值为5.答案：1759比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)sin与sin；(3)cos 1与sin 1.解：(1)因为0，且正弦函数ysin x在上是增函数，所以sinsin.(2)易知sinsinsin.因为0，且ysin x在上是增函数，所以sinsin，即sinsin.(3)因为cos 1sin，而011且ysin x在上是增函数，所以sinsin 1，即cos 1sin 1.10对于函数y|sin x|和ysin|x|.(1)分别作出它们的图象；(2)分别求出其定义域、值域、单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性
14、解：(1)y|sin x|的图象如图所示ysin|x|图象如图所示(2)y|sin x|，定义域：R；值域：0，1；单调递增区间：k，k(kZ)，偶函数，周期为.ysin|x|，定义域：R；值域：1，1；单调递增区间：2k，2k(k为非正整数)，0，2k，2k(k为非负整数)；偶函数；非周期函数B能力提升11下列函数中，奇函数的个数是()yx2sin x；ysin x，x0，2；ysin x，x，；yxcos x.A1 B2C3 D4解析：选C.因为xR，定义域关于原点对称，且f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)，是奇函数因为x0，2，定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数因
15、为x，所以定义域关于原点对称，且f(x)sin(x)sin xf(x)，是奇函数因为xR，关于原点对称且f(x)(x)cos(x)xcos xf(x)，是奇函数综上应选C.12方程lg xsin x实根的个数是_解析：在同一坐标系下分别作出ylg x与ysin x的图象如图可知两图象有三个交点，即方程lg xsin x有三个实数根答案：313函数f(x)sin2xsin xa，若1f(x)对一切xR恒成立，求实数a的取值范围解：令tsin x，t1，1，则原函数可化为f(t)t2taa.当t时，f(t)maxa，即ymaxa；当t1时，f(t)mina2，即ymina2.故对于一切xR，函数f
16、(x)的值域为.所以解得3a4.14(选做题)已知函数f(x)asinab.(1)当a1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)是否存在常数a，bR，使得f(x)在0，上的值域为2，3？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解：(1)当a1时，f(x)sin1b.因为ysin x的单调递减区间为(kZ)，所以当2kx2k，kZ，即2kx2k(kZ)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(kZ)(2)因为x0，所以x，所以sin1.若存在这样的实数a，b，则当a0时，解得a1，b2.当a0时，解得a1，b3.综上可知，存在a，bR，且a1，b2或a1，b3时，f(x)在0，上的值域为2，3