1、3 匀变速直线运动的位移与时间的关系基础认知自主学习一、匀速直线运动的位移公式xvt与图象中的矩形的面积有什么关系？提示：图象中矩形的面积vt1位移公式：_。2位移与v t图象的对应关系：(1)位移对应：_。(2)面积对应：_。xvtvt图线与对应的时间轴所包围的矩形面积物体t1时间内的位移二、匀变速直线运动的位移结合生活实际想想，汽车刹车问题如何计算时间和位移？提示：计算刹车问题，要首先计算汽车停下来的时间和位移，再将所给的时间进行验证，不能够盲目将题目所给的时间代入公式进行计算。1位移在vt图象中的表示：(1)将时间t无限分割后，每个小的时间段内的运动都可以近似看作匀速直线运动，即_为t时
2、间内物体的位移。(2)做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图象中的图线与_。无数个小矩形的面积之和时间轴所围梯形的面积2位移与时间的关系：三、用图象表示位移如图所示，甲、乙两幅图分别为物体运动的x-t图象和v-t图象，两幅图中物体分别经历了什么运动过程？提示：根据x-t图象和v-t图象的特点进行分析。1xt图象：(1)定义：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象。(2)常见的xt图象：一条平行于时间轴的直线：物体处于_状态。一条倾斜的直线：物体做_运动。静止匀速直线2vt图象：(1)定义：以时间t为横坐标，以速度v为纵坐标，描述速度随时间变化情况的图象。(vt图线与
3、时间轴所围成图形的面积表示位移)(2)常见的vt图象：一条平行于时间轴的直线：物体做_运动。一条倾斜的直线：物体做_运动。匀速直线匀变速直线下列关于匀变速直线运动的描述准确的有_。匀变速直线运动的位移一定与时间的二次方成正比关系。位移公式 xv0t12 at2 只适用于匀加速直线运动。做匀变速直线运动的物体加速度越大、时间越长，其位移一定越大。做匀变速直线运动物体的 x-t 图象是一条倾斜直线。匀变速直线运动的 v-t 图象与时间轴所围成图形的面积表示物体的位移，时间轴以上的面积表示位移为正值，时间轴以下的面积表示位移为负值。匀变速直线运动的速度变化量与运动时间成正比关系。(1)做匀变速直线运
4、动的物体其位移一定随时间的变大而增加。()(2)物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动。()(3)若物体在运动的过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速运动。()(4)当匀变速直线运动的初速度为零时，物体的位移一定与时间的二次方成正比。()能力形成合作探究知识点一 匀变速直线运动的位移公式1公式的适用条件：位移公式xv0t12 at2只适用于匀变速直线运动。2公式的矢量性：公式xv0t12 at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况：运动情况取值若物体做匀加速直线运动a与
5、v0同向，a取正值(v0方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反3.公式的两种特殊形式：(1)当a0时，xv0t(匀速直线运动)。(2)当v00时，x12 at2(由静止开始的匀加速直线运动)。速度、加速度的测量通常比位移的测量要复杂些，而有的时候我们只需比较两个物体运动的加速度大小，并不需要知道加速度的具体数值。例如，比较两辆汽车的加速性能就是这样。如果已知两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律求出它们的加速
6、度之比？提示：当v00，则x12 at2。这样位移之比就和加速度之比相等。【典例】(多选)(2021天水高一检测)猎豹由静止开始做匀加速直线运动，经2 s的时间位移可达20 m。假设猎豹匀加速奔跑的时间为3 s，则下列说法正确的是()A猎豹起跑过程中的加速度大小为4.44 m/s2B猎豹起跑过程中的加速度大小为10 m/s2C第3 s内猎豹的位移大小为25 mD前3 s内猎豹的位移大小为25 m【审题关键】序号信息提取v00加速度恒定不变根据xv0t12 at2求加速度a【解析】选B、C。猎豹由静止开始起跑，由xv0t12 at2得20 m12 a(2 s)2，解得a10 m/s2，故A错误，
7、B正确；由xv0t12 at2得前3 s内猎豹的位移x12 1032 m45 m，则第3 s内的位移x345 m20 m25 m，故C正确，D错误。【母题追问】假设猎豹以【典例】中的加速度奔跑，在第3 s末达到最大速度后，以5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则猎豹做匀减速运动的时间和位移分别为多少？提示：v1at103 m/s30 m/s停止时v0，tvv1a0305s6 sxv1t12 at2306 m12 562 m90 m【加固训练】1一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是()A物体的末速度一定与时间成正比B物体的位移一定与时间的平方成正比C物体的加速度与初速度方向一定相同D物体
8、的加速度一定不变【解析】选D。物体的速度与时间关系为vv0at，故物体的速度与时间成线性关系，当初速度为零时，速度与时间关系为vat，速度与时间成正比，故A错误；位移与时间关系为xv0t12 at2，物体的位移与时间的二次方不成正比，当初速度为零时，物体的位移与时间的二次方才成正比，故B错误；物体做匀减速直线运动时，物体的加速度与初速度方向相反，故C错误；匀变速直线运动即加速度不变的直线运动，所以匀变速直线运动的加速度不变，故D正确。2汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s与开始刹车后6 s汽车的位移之比为()A14 B34 C35 D5
9、9【解析】选B。汽车从刹车到停止的时间t00v0a0205s4 s2 s，所以汽车前2 s内的位移：x1v0t112 at21 202 m12 522 m30 m；而6 s4 s，4 s后汽车停止运动，所以汽车前6 s内的位移等于前4 s内的位移，x2v0t212 at22 204 m12542 m40 m，则x1x2 34，故B正确。3汽车以3 m/s2做匀减速直线运动，某时刻先后经过路旁相距36 m的两根电线杆，已知汽车经过第一根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车通过这两根电线杆的时间间隔为()A6 s B4 s C2 s D12 s【解析】选B。汽车做匀减速直线运动，则a3 m/s2，
10、由xv0t12 at2得36 m15t12 3t2，解得t4 s或6 s，且汽车停下时t0v0a0153s5 s，因此6 s舍去，故B正确，A、C、D错误。知识点二 位移时间(x-t)图象x-t图象的应用 情境：高速列车在轨道上沿直线运动。讨论：(1)除了用公式来描述它相对出发点的位移随时间的变化情况外，还可以如何描述？(物理观念)提示：还可以用位移时间图象来描述位移随时间的变化。(2)如果该列车在做匀速直线运动，它的位移时间图象是什么(请画出图象)？(科学思维)提示：【典例】甲、乙两物体从同一位置出发且在同一直线上运动，它们的位移时间(x-t)图象如图所示，由图象可知()A第3 s末时，甲比
11、乙的速度要小B第4 s末时，甲、乙间距离最大C在04 s内，甲、乙的平均速率相等D在04 s内，甲、乙的平均速度相等【解析】选D。由于位移时间图象的斜率表示速度，从图中可得第3 s末时v甲0462m/s1 m/s，v乙2040m/s0.5 m/s，正负表示速度的方向，所以甲比乙的速度要大，故A错误；4 s末两物体的位置坐标相同，说明两物体相遇，故B错误；乙物体的速度(斜率)始终为正值，即速度始终为正方向，甲物体前两秒内速度为正方向，2 s末到4 s末速度为负方向，又4 s末两物体的位置坐标相同，所以4 s内甲的路程大于乙的路程，所用时间相等，所以甲的平均速率大于乙的平均速率，故C错误；由图知4
12、 s内甲的位移大小为x甲2 m02 m，乙的位移大小为x乙2 m02 m，位移相等，所用时间也相等，则由平均速度公式 v xt 知，平均速度相等，故D正确；故选D。1.如图所示为甲、乙两物体相对于同一坐标系的位移时间(x-t)图象，则下列说法正确的是()A甲、乙均做匀变速直线运动B甲的速率大于乙的速率C甲、乙运动的出发点相同D甲比乙早出发时间t0【解析】选D。位移时间图象中倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，故A错误；位移时间图象的斜率的绝对值等于速率，由图看出甲图线的斜率的绝对值小于乙图线的斜率的绝对值，则甲的速率小于乙的速率，故B错误；由图看出，甲从距原点x0处出发，而乙从原点出发，则甲、乙
13、运动的出发点相距x0，故C错误；由图看出，甲从0时刻出发，而乙从t0时刻出发，则甲比乙早出发时间t0，故D正确。2.一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，在t0到t40 s的时间内的x-t图像如图所示，则这40 s内汽车()A在前10 s内向负方向运动B在1020 s内没有行驶C离出发点最远距离为750 mD在2040 s内驶离出发点【解析】选B。由图可知，010 s，位移逐渐增大，故A错误；在1020 s内汽车停在x30 m处，汽车没有行驶，故B正确；汽车在2040 s内匀速驶向出发点，离出发点最远距离为30 m，故C、D错误。【加固训练】1甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动
14、，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移时间图象，如图所示，则()A.刚出发时，甲车速度小Bt1时刻，两车相遇Ct2时刻，乙车速度大D0t2时间内，甲车通过的距离大【解析】选C。因x-t图象的斜率表示速度，由图象可知刚出发时，甲车速度大，选项A错误；t1时刻，两车位移不相等，两车没有相遇，选项B错误；t2时刻，甲车的速度为零，乙车速度大，选项C正确；t2时刻两车的位移相同，则0t2时间内，两车通过的距离相同，选项D错误。2.(多选)如图所示为甲、乙两质点在0t3时间内的位移随时间变化的关系图，下列说法正确的是()A在t2时刻甲、乙两质点的速度相同B在0t2内的某时刻，甲、乙两质点的速度相同C在
15、0t2内，两质点走过的路程相等D在0t3内，甲质点的速度先减小后增大【解析】选B、D。位移时间图象斜率表示速度，由图可知在t2时刻甲、乙两质点的速度不相同，故选项A错误；位移时间图象斜率表示速度，由图可知在0t2内的某时刻，甲的斜率等于乙质点的斜率，甲、乙两质点的速度相同，故选项B正确；位移时间图象斜率表示速度，斜率的正负表示速度的方向，由图可知在0t2内，甲的斜率先正后负，先沿正方向运动后沿负方向运动，乙的斜率不变，沿正方向做匀速直线运动，所以甲质点走过的路程大于乙质点走过的路程，故选项C错误；由图可知在0t3内，甲质点的速度先减小后增大，故选项D正确。知识点三 匀变速直线运动的两个重要推论
16、角度1 匀变速直线运动中的平均速度公式及推导1平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即 v vt212(v0v)xt。2推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。由xv0t12 at2得，平均速度 v xt v012 at由速度公式vv0at知，当tt2 时，vt2v0at2 由得 v vt2又vvt2at2 联立以上各式解得v t2 v0v2，所以 v vt2v0v2。斑马奔跑的速度快而持久，每小时可达到6080 km。假设斑马沿直线奔跑。(1)若斑马需奔跑80 km，
17、则斑马奔跑的时间长短取决于什么因素？(2)做匀变速直线运动的物体的平均速度与初、末速度有什么关系？提示：(1)平均速度。(2)v v0v2【典例1】甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t0到tt1的时间内，它们的v-t图象如图所示。已知tt1时刻，两汽车并排行驶。则在这段时间内()A两汽车的平均速度均为v1v22B甲乙两汽车的位移相同Ct0时刻，汽车乙在汽车甲前方D汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大【解析】选C。由图可知甲车做变加速运动，平均速度大于v1v22，乙车做变减速运动，平均速度小于v1v22，故A错误；在v-t图象中，图线与时间轴所围的面积代表位移的大小，根据图象
18、可知，甲的位移大于乙的位移，已知tt1时刻，两汽车并排行驶，所以t0时刻，汽车乙在汽车甲前方，故B错误，C正确；因为切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都是逐渐减小，故D错误。角度2 匀变速直线运动中的位移差公式1逐差相等公式及推导：(1)逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即xxnxn1aT 2(2)推导：时间T内的位移x1v0T12 aT2在时间2T内的位移x2v02T12 a(2T)2则xx1，xx2x1由得xxaT2在时间3T内的位移x3v03T12 a(3T)2则xx3x2由得xxaT2同理得xxxxxxnxn1aT22应用：(1)判断物体是
19、否做匀变速直线运动。(2)求加速度。【典例 2】一物体以一定的初速度在水平地面上匀减速滑动，若已知物体在第 1 s 内位移为 8.0 m，在第 3 s 内位移为 0.5 m。则下列说法正确的是()A物体的加速度大小一定为 3.75 m/s2B物体的加速度大小可能为 3.75 m/s2C物体在第 0.5 s 末速度一定为 4.0 m/sD物体在第 2.5 s 末速度一定为 0.5 m/s【解析】选B。根据匀变速直线运动的规律xaT2可得：x3x12aT2，a0.58212m/s23.75 m/s2，因为物体做匀减速运动最终会停下来，且不可返回，假设它在第2 s到第3 s之间的某一时刻就已经停下来
20、了，加速度大小就不再等于3.75 m/s2，A错误，B正确；第0.5 s末速度为第1 s内的中间时刻速度，根据vt2xt 81 m/s8 m/s，C错误；如果在第3 s末前就已经停止运动，则物体在第2.5 s末速度不等于第3 s内的平均速度，D错误。1(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，下列说法正确的是()A第3 s末的瞬时速度是2.25 m/sB第4 s末瞬时速度是2.5 m/sC质点的加速度是0.125 m/s2D质点的加速度是0.5 m/s2【解析】选A、D。第3 s末的瞬时速度等于第2 s末至第4 s 末这两秒内的平均速度，即v3 v
21、 x3x42T22.521m/s2.25 m/s，故A正确；由逐差法求加速度公式得x4x3aT2，ax4x3T22.5212m/s20.5 m/s2，故C错误，D正确；第4 s末的瞬时速度v4v3at(2.250.51)m/s2.75 m/s，故B错误。2一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m。则刹车后6 s内的位移是()A20 mB24 mC25 mD16 m【解析】选C。设汽车的初速度为v0，加速度为a。根据匀变速直线运动的推论xaT2得：x2x1aT2得ax2x1T27912m/s22 m/s2。根据第1 s内的位移：
22、x1v0t12 at2代入数据得，9 mv01 s12(2)12 m，解得v010 m/s，汽车刹车到停止所需的时间t00v0a0102s5 s，则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为xv02 t0102 5 m25 m，故选项A、B、D错误，选项C正确。3一物体做匀加速直线运动，若已知物体在第3 s内的位移为x1和第7 s内的位移为x2，则可求出物体的()加速度t7.5 s时的速度在t0t3 s内的位移物体发生10 m的位移所需时间ABCD【解析】选C。根据xaT2得x7x3(73)aT2，解得：ax7x34T2x2x14，可求出加速度；已知物体在第7 s内的位移为x2，则第6.5
23、 s时瞬时速度等于第7 s内的平均速度，则t7.5 s时的速度：v7.5v6.5atv7a1x2a，可求出t7.5 s时的速度；根据xaT2得，第2 s内的位移：s2x1aT2x1x2x14，第1 s内的位移：s1s2aT2x1x2x12，在t0t3 s内的位移：xs1s2x1，所以可求出在t0t3 s内的位移；由于不知道x1和x2的具体数据，所以不能求出物体发生10 m的位移所需时间。【拓展例题】考查内容：逐差法求加速度【典例】为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次
24、，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为()A1 m/s2B2.25 m/s2C3 m/s2D4.25 m/s2【解析】选B。据匀变速直线运动规律，xx2x1aT2，读出x1、x2，代入即可计算。轿车总长4.5 m，相当于提示我们图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x112 m和x221 m，又T2 s，则axT2 2.25 m/s2。高速公路上，为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故，道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示，一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动，已知其初速度为v0，经过时间t速度减为零。探究：(1)如何求得货车的加速度大小？(2)如何求得货
25、车的最大上行距离？情境模型素养【解析】(1)由匀变速直线运动的速度公式vtv0at得：货车的加速度为：avtv0tv0t货车的加速度大小为v0t(2)由匀变速直线运动的规律得货车上行的距离为Lvtv02tv0t2答案：(1)v0t (2)v0t2某种飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速直线运动，经过21 s，飞机速度达到84 m/s时离开地面升空。如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即制动，飞机做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2。探究：假设跑道长1 500 m，飞机着陆安全吗？如果要求你为这种飞机设计一条跑道，使在这种情况下飞机停止起飞而不滑出跑道，你设计的跑道长度至
26、少要多长？【解析】不安全，飞机匀加速运动的位移为x112 a1t21，又va1t1，t121 s、v84 m/s，飞机速度由84 m/s减到0所用时间为t2、位移为x2，有va2t2，x212 a2t22，a25 m/s2，跑道长度至少为Lx1x21 587.6 m。答案：不安全，跑道长度至少为1 587.6 m。学情诊断课堂测评1做匀减速直线运动的质点，它的位移随时间变化的规律是x24t1.5t2(m)，当质点的速度为零，则t为多少()A1.5 sB8 sC16 sD24 s【解析】选B。对比xv0t12 at2可得：v024 m/s，a3 m/s2，则当速度为零时，由vv0at可得：024
27、 m/s3 m/s2t，解得t8 s，故A、C、D错误，B正确。2一个做匀加速直线运动的物体，在第1个2 s内经过的位移为6 m，在第2个2 s内经过的位移是14 m，关于这个物体的加速度和第1个2 s末速度，下列说法正确的是()A加速度大小为1 m/s2B加速度大小为2 m/s2C第1个2 s末速度大小为6 m/sD第1个2 s末速度大小为4 m/s【解析】选B。已知第1个2 s内的位移是x16 m，第2个2 s内的位移为x214 m，由xaT2得x2x1aT2解得：a2 m/s2，故A错误，B正确；第1个2 s末的瞬时速度即前4 s内的平均速度v v x1x22T61422m/s5 m/s
28、，故C、D错误。3(多选)如图所示为A、B两个物体从O点开始运动的位移时间图像的一部分。从A、B两物体的位移时间图像可知，下列说法中正确的是()A.A、B两物体的运动方向相同BA物体4 s内发生的位移是10 mCB物体发生10 m位移的时间是4 sDA、B两物体同时开始运动【解题探究】(1)从x-t图像能得出物体A和B运动的方向相同吗？提示：相同(2)能从图像中得到某一时刻物体的位置吗？提示：可以。(3)A和B两物体是同时出发的吗？提示：同时出发。【解析】选A、C、D。A、B两物体的运动图线相对时间轴的倾斜方向相同，即A、B两物体的运动方向相同，选项A正确；由题图可知，B物体在4 s内的位移是
29、10 m，A物体在4 s内的位移为20 m，选项B错误，C正确；A、B两物体都是从0时刻开始运动，选项D正确。4一物体在水平地面上做匀加速直线运动，已知前2 s内的位移为12 m，随后又经过2 s位移为20m，求：(1)物体的初速度为多大？(2)第5 s的平均速度为多大？【解析】(1)物体做匀加速直线运动，且第一个2 s内的位移为12 m，第二个2 s内的位移为20 m，由x2x1aT2，T2 s，解得a201222m/s22 m/s2；第1 s末的瞬时速度即前2 s内的平均速度，v1 v x1t 122 m/s6 m/s，由vv0at得v0v1at6 m/s21 m/s4 m/s，即物体运动的初速度为4 m/s。(2)第5 s的平均速度等于4.5 s时刻的瞬时速度，则：v5v4.5v0at4.54 m/s24.5 m/s13 m/s。答案：(1)4 m/s(2)13 m/s