1、选修 41 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质基础盘查一 平行线分线段成比例定理(一)循纲忆知了解平行线截割定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理)(二)小题查验1判断正误(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和()(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行()2如图，F 为ABCD 的边 AD 延长线上的一点，DFAD，BF 分别交 DC，AC 于 G，E 两点，EF16，GF12，则 BE 的长为_解析：由 DFAD，ABCD 知 BGGF12，又 EF16知 EG4，故 BE8.83(人教 A 版教材习题改编)如图，
2、ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，则 BC 的长为_ cm.解析：ABEMDCAEEDE 为 AD 中点，M 为 BC 的中点，又 EFBCEFMC12 cm.BC2MC24 cm.24基础盘查二 相似三角形的判定及性质(一)循纲忆知理解相似三角形的定义与性质，会证明并应用直角三角形射影定理(二)小题查验1判断正误(1)在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 AD2BDCD，则A 为直角()(2)在直角三角形 ABC 中，ACBC，CDAD，则 BC2BDAB()(3)若两个三角形的相似比等于 1，则这两个三角形全等()2(人教 A 版教材习题改编)如图，D，E 分别是AB
3、C的边 AB，AC 上的点，DEBC 且ADDB2，那么ADE 与四边形 DBCE 的面积比是_解析：DEBC，ADEABC，SADESABCAD2AB2.ADDB2，ADAB23，SADESABC49，故 SADES四边形DBCE45.45考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点自主练透)必备知识1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行
4、于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例提醒在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误题组练透1如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，求BFFC的值解：如图，过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M.点 E 是 BD 的中点，在BDM 中，BFFM.又点 D 是 AC 的中点，在CAF 中，CMMF，BFFCBFFMMC12.2如图，等边三角形 DEF 内接于ABC，且 DEBC，已知 AHBC 于点 H，BC4，AH 3，求DEF 的边长解：设 DEx，AH 交 DE 于点 M，显然 MH
5、的长度与等边三角形 DEF 的高相等，又 DEBC，则DEBCAMAHAHMHAH，x43 32 x32x2，解得 x43.3如图，在四边形 ABCD 中，EFBC，FGAD，求EFBCFGAD的值解：由平行线分线段成比例定理得EFBCAFAC，FGADFCAC，故EFBCFGADAFACFCACACAC1.类题通法对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理考点二 相似三角形的判定及性质(重点保分型考点师生共研)必备知识1相似三角形的判定定
6、理判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理 2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理 3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似2相似三角形的性质定理性质定理 1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理 2：相似三角形的面积比等于相似比的平方结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方提醒 在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误典题例析如图，已知在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD相交于点 F.(1)求证：ABCFCD；
7、(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长解：(1)因为 DEBC，D 是 BC 的中点,所以 EBEC，所以BBCE.又因为 AD AC,所以ADCACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点 A 作 AMBC，垂足为点 M.因为ABCFCD，BC2CD，所以SABCSFCDBCCD24.又因为 SFCD5，所以 SABC20.因为 SABC12BCAM，BC10，所以 201210AM，所以 AM4.因为 DEAM，所以DEAMBDBM.因为 DM12DC52，BMBDDM，所以DE4 5552，解得 DE83.类题通法证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间
8、的数量关系有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理演练冲关(2015浙江模拟)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB3，CD4.过 AC 与 BD 的交点 O 作 EFAB，分别交 AD，BC 于点 E，F，求 EF 的长解：因为 ABCD，EFAB，所以EDOADB，因此有EOABODBD，又 AB3，CD4，不妨设 DO4m，OB3m，EOABODBD47，因此可得 EO127，则 EF247.考点三 射影定理的应用(重点保分型考点师生共研)必备知识射影定理直角三角形
9、斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用典题例析如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E，试证明：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.证明：(1)在 RtABC 中，ADBC，SABC12ABAC12BCAD.ABACBCAD.(2)RtADB 中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理 CD2CFA
10、C，BD2CD2BEABCFAC.又在 RtBAC 中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又 ABACBCAD.即 AD3BCCFBE.类题通法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法演练冲关如图，在 RtABC 中，BAC90，AD 是斜边 BC 上的高，若 ABAC21，求 ADBC.解：设 ACk，则 AB2k，BC 5k，BAC90，ADBC，AC2CDBC，k2CD 5k，CD 55 k，又 BDBCCD4 55 k，AD2CDBD 55 k4 55 k45k2，AD2 55 k，ADBC25.“课后演练提能”见“课时跟踪检测(六十二)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
