1、2019年春季学期高二年级期中考试理科数学试题第I卷（选择题)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Mx|(x1)24，xR，N1，0，1，2，3，则MN（ ）A. 0，1，2B. 1，0，1，2C. 1，0，2，3D. 0，1，2，3【答案】A【解析】试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集解：由（x1）24，解得：1x3，即M=x|1x3，N=1，0，1，2，3，MN=0，1，2故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若复数，其中i
2、为虚数单位，则=A. 1+iB. 1iC. 1+iD. 1i【答案】B【解析】试题分析：，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3.下列函数中，既是偶函数又存在零点是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断【详解】选项A,是非奇非偶函数, 且没有零点,选项B,没有零点, 选项C,是奇函数, 选项D,是偶函数，又有解，既是偶函数又存在零点故选D【点睛】本题考查偶函数和零点的概念4.如
3、图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和，所以几何体的表面积为考点：三视图与表面积5.若实数、满足约束条件则的最小值是( )A. B. C. D. 3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由,解得，即B(1,1)，此时z=121=3，故选B6.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五
4、五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.7.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）A. 60B. 80C. 100D. 120【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出，乘以400得答案.【详解】解：近似服从正态分布，该校数学成绩不低于90分的人数为
5、4000.3120.故选：D.【点睛】本题考查了正态分布的性质，属于基础题.8.下列选项中，说法正确的是（ ）A. 命题“，”的否定为“，”；B. 命题“在中，则”的逆否命题为真命题；C. 已知、m是两条不同的直线，是个平面，若，则；D. 已知定义在R上的函数，则“为奇函数”是“”的充分必要条件.【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断A；由，可得，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断B；由线面平行的性质定理，即可判断C；根据奇函数的定义，即可判断D.【详解】解：对于A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“，”的否定为“，”，故A错；对于B，命题“在中，则”为假命题，比
6、如，则再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故B错；对于C，已知、m是两条不同的直线，是个平面，若，则存在，必有，又，则，所以，故C正确；对于D，已知定义在R上的函数，若为奇函数，则，则，所以，满足充分性；但不能推出为奇函数，不满足必要性，则“为奇函数”是“”的充分不必要条件，故D错.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和奇偶性的定义，考查判断和推理能力，属于基础题.9.已知直线与圆 相交于两点，且（其中为原点），那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】O为圆的圆心，所以易知，则圆心O到直线的距离等于，根据
7、点到直线距离公式有，所以，故选择B.方法点睛：直线与圆相交时，通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，利用勾股定理来解题.本题根据等腰三角形顶角为，底角为，弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，根据几何图形，转化为圆心到直线的距离等于半径的一半来求解，考查数形结合思想方法在解题中的应用.10.已知，都为锐角，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于，所以，所以.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.11.公
8、差不为0等差数列的部分项构成等比数列且，则（ ）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，所以，所以等比数列的公比，所以，又，所以，所以，解得，故选B考点：等比数列的应用12.已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若AF2B为等腰直角三角形，且AF2B=90，那么C的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据双曲线定义可以得到，进一步有，再利用余弦定理确定出和关系，由此求出结果.【详解】AF2B为等腰直角三角形，且AF2B=90，设由双曲线的定
9、义有，则，则所以，则，由余弦定理有：即整理得：，所以，即.故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要注意应用双曲线的定义和性质，注意数形结合思想的应用，属于中档题.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中，x3的系数是_.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.14.设，向量，且，则= 【答案】15【解析】试题分析：由得由得，考点：平面向量平行与垂直关系的坐标表示及数量积
10、运算15.若是抛物线上的动点，点在以点为圆心，半径长等于1的圆上运动则的最小值为_【答案】3【解析】由于点为抛物线焦点，则等于点到抛物线准线的距离.又圆心到抛物线准线的距离为4，则.当点为原点，为时取等号.故 得最小值为,故答案为 .16.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_【答案】36【解析】三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥SABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得 ，解得r=3.球O的表面积
11、为： .点睛：与球有关组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角的对边分别为已知（1）求；（2）若求的面积.【答案】；【解析】【分析】(1)先利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求得.(2)先利用余弦定理求出a=3,再利用三角形的面积公式求的面积.【详解】（1）由已知以及正弦定理可得,（2）由（1
12、）以及余弦定理可得，解得或舍去【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫
13、户”. （1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【解析】试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，的可能值为0，1，2，3.写出超几何分布列（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中试
14、题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3.从而，.所以的分布列为：故的数学期望.（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.19.如下图，在四棱柱中，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若四棱柱是长
15、方体，且，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点为，连结,要证线面平行，即证明平面外的线与平面内的线平行，所以证明是平行四边形，即证明；（2）以点为原点，分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.试题解析：（1）设的中点为，连接、.为的中点，且.又为四棱柱的棱的中点，且，四边形是平行四边形.又平面，平面，平面.（2）根据四棱柱是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由已知得.，设平面的一个法向量为，则.取，解得是平面的一个法向量.由已知容易得到是平面的一个法向量.设平面与平面所成二面角
16、的大小为，则.，.平面与平面所成二面角的正弦值为.20.已知数列的前项和为，若，且（1）求证：为等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1），得：，可得，化简可得，整理可得，即可证明结论（2）由（1）得，即然后再利用错位相减即可求出结果试题解析：（1），得：，即，是以-2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得，即，- 得：考点：1数列的递推公式；2错位相减【方法点睛】针对数列（其中数列分别是等差数列和等比数列（公比），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1；2等式两边同时乘以等比数列的公比，得到；3最后-，化简即可求出结果21.已知函数，直
17、线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）由辅助角公式得，再由的最小值为可得最小正周期，进而得，；（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象令，原题转化为上有且只有一个值，由正弦函数的图象可得的范围试题解析：（1），由的最小值为可得 最小正周期，（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象
18、所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象令，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或，或考点：1、三角函数的图象和性质及两角和的正弦公式；2、已知方程根的个数求参数范围22.已知点，圆，点是圆上一动点， 的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】【试题分析】（1）由于，所以的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程和点的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写
19、出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为，即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.（2）当存在时，设直线，则，联立直线与椭圆得，得，所以直线，所以令，得，所以直线过定点，（当不存在时仍适合）所以的面积 ，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点，而圆心恰好是，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆.