1、【例1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.【证明】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0
2、，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.【规律方法】使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方程向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直创新预测1在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中
3、点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F，则，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.【例2】(2014山东省烟台市高考模
4、拟卷)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围【解】可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示令FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,1)，M(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)设n1(x，y，z)为平面MAB的法向量，由得.取x1，则n1(1，)，n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，cos .0，当0时，cos 有最小值，当时，cos有最大值.cos
5、，【规律方法】1.利用空间向量求空间角的步骤：第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步确定出相关点的坐标；第三步写出相关向量的坐标；第四步结合公式进行论证、计算；第五步转化为几何结论2巧用“向量法”求解“空间角”：(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b|.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cos n，a|.(3)向量法求二面角求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos
6、 |cosn1，n2|.创新预测2(2014深圳第一次调研)如图所示在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角FCC1B的余弦值【解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0
7、，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，异面直线AB1与DD1所在 角的余弦值为.(2)(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面BCC1B1.(3)由(2)知，为平面BCC1B1的一个法向量设n(x1，y1，z1)为平面FCC1的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，得.令y11，则n(2,1,1)，cos，n，二面角FCC1B为锐角，二面角FCC1B的余弦值为.【例3】(2014湖北高考)如图在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分
8、别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解】以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)【证明】当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFP
9、Q的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2,2，1)若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角【规律方法】空间向量巧解探索性问题：(1)空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用
10、这一方法解题创新预测3(2014山东聊城二模)如图(1)所示，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(如图(2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【解】(1)在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,
11、0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，有(s，t，2)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.总结提升失分盲点(1)混淆概念致误混淆向量的夹角与异面直线的夹角的概念，导致结果错误(2)错用公式致误在求有关角的问题时，由于对角与向量之间的关系不清楚，导致错用夹角公式(3)混淆公
12、式致误混淆二面角、线面角的向量计算公式从而导致错误答题指导在解决角的问题时，注意合理应用转化思想，将空间角转化为平面图形中的角；也可以建立空间直角坐标系利用向量知识来求角，此时需注意角的范围及角的三角函数名方法规律(1)求两条异面直线所成角的方法：一是平移直线法；二是空间向量法(2)直线与平面所成角的求法：通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求直线与平面所成的角(3)平面与平面所成的角：可利用待定系数法求出这两个平面的法向量，法向量的夹角可能等于两平面的夹角，也可能与两平面的夹角互补(4)点到平面的距离的求法：直接法，即垂线段的长；等体积转化法，即换底法；向量法：用已知向量表示求解空间向
13、量的运算与立体几何问题1有了空间向量的知识后，立体几何中的问题就可以转化为向量的运算完成，因此使用空间向量方法解决立体几何问题不仅要掌握空间向量与立体几何问题的对应关系，还要有一定的运算能力作基础2立体几何中向量的运算主要是：建立空间直角坐标系后求点的坐标，向量的坐标求直线的方向向量，求平面的法向量，进行向量的线性运算、数量积运算等【典例】(2014山东高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余
14、弦值【解】(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1/MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)连接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)，又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.【规律感悟】平面的法向量是不唯一的，凡与平面垂直的向量都是其法向量，求解平面的法向量就是解一个由两个方程组成的三元一次方程组，注意对其中一个元赋值求解，得出该方程组的一个特解，就是所求平面的法向量
