1、第12讲点、直线、平面之间的位置关系1(2013安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】结合平面的基本性质求解A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B是平面的基本性质公理；C是平面的基本性质公理；D是平面的基本性质公理【答案】A2(2014浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m
2、【解析】选项A，若mn，n，则m或n或m，错误选项B，若m，则m或m 或m，错误选项C，若m，n，n，则m，正确选项D，若mn，n，则m或m或m，错误【答案】C3(2014大纲高考)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】取AD中点F，易知EFBD.在EFC中，不妨设正四面棱长为1.则EFBD，CECF1，cosCEF.【答案】B4(2014江苏高考)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【证明】(1
3、)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1空间位置关系命题真假的判断此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，通常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质从能力角
4、度考查学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力试题主要以选择题、填空题的形式出现，属于中等难度题2线线、线面、面面的位置关系的证明该考向是各省高考题中的重要考点之一，是每年必考内容之一以多面体为载体，结合线线、线面、面面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查线线、线面、面面的平行与垂直的相互转化考查学生的推理论证能力和空间想象能力试题以解答题的形式出现，属于中档题3与翻折有关的问题此类问题通常是把平面图形翻折成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面的位置关系及有关计算通过翻折把平面图形转化为空间几何体，更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力试题以解答题为主，多为中档题.【
5、例1】(1)(2014辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n(2)(2013安徽高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为.【解析】(1)由线面垂直的定义知若m，n，则mn.故选B.(2)利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定
6、与性质求解当0CQ时，如图(1)在平面AA1D1D内，作AEPQ，显然E在棱DD1上，连接EQ，则S是四边形APQE.当CQ时，如图(2)显然PQBC1AD1，连接D1Q，则S是等腰梯形当CQ时，如图(3)作BFPQ交CC1的延长线于点F，则C1F.作AEBF，交DD1的延长线于点E，D1E，AEPQ，连接EQ交C1D1于点R，由于RtRC1QRtRD1E，C1QD1EC1RRD112，C1R.当CQ1时，如图(3)，连接RM(点M为AE与A1D1交点)，显然S为五边形APQRM.当CQ1时，如图(4)同可作AEPQ交DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，所以S为菱
7、形APQM，其面积为MPAQ.【答案】(1)B(2)【规律方法】解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择创新预测1(1)(2013浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m(2)(2014兰州、张掖联考)已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，
8、n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中正确的命题是()ABCD【解析】(1)可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论A项，当m，n时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m，m时，可能平行也可能相交，故错误；C项，当mn，m时，n，故正确；D项，当m，时，m可能与平行，可能在内，也可能与相交，故错误故选C.(2)由面面垂直的判定定理知正确；若m，n是平面内两条平行直线，则的结论不一定成立，故错；若m，n是互相平行的两个平面内的两条异面直线，则n与平行，故错误；由m得m，m，又nm，n，n，所以n，n，故正确【答案】(
9、1)C(2)D【例2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)【证明】在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)【证明】取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1.所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1
10、FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.【规律方法】1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直2灵活运用空间中的转化关系.
11、平行问题的转化方向面面平行线面平行线线平行主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下：(1)证明线线平行：平面几何有关定理；三线平行公理；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行：线面平行的定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质定理(3)证明面面平行：面面平行的定义；面面平行的判定定理.垂直问题的转化方向面面垂直线面垂直线线垂直主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下：(1)证明线线垂直：线线垂直的定义；线面垂直的定义；勾股定理等平面几何中的有关定理(2)证明线面垂直：线面垂直的判定定理；线面垂直的定义；面面垂直的性质定理(3)证明面面垂直：
12、面面垂直的定义；面面垂直的判定定理创新预测2(2014山东高考)如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.(1)【证明】设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)证明由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此
13、APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP、AC平面PAC，所以BE平面PAC.【例3】(2014广东高考)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图(2)折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积(1)【证明】PD平面ABCD，PDAD，又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)【解
14、】PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF，CF，EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.【规律方法】1.解决翻折问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口2把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决创新预测3(2014江西九江一模)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E、F是线段AB上
15、的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积【解】(1)证明：因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因为CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所以CFEG，所以EG平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG平面CFG.(2)如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面
16、EFG，所以GH平面CDEF，所以V多面体CDEFGS矩形CDEFGH16.总结提升失分盲点(1)忽视定理的条件：在应用平行或垂直的判定定理时，忽略定理的条件，造成结论不成立或步骤跳跃而失分(2)忽视平面几何性质的应用：求解题目的过程中，要注意挖掘平面图形的几何性质，寻找元素之间的关系，往往使问题更简单答题指导在证明垂直与平行问题时，要注意转化思想的应用；在应用判定定理、性质定理时，要注意定理的条件与结论，不能漏掉任何条件，否则会因证明不正确或步骤不全而失分(1)证明线面平行中的“三找”：判断线面平行找外线证明线面平行找内线，确定内、外线有困难时找中点(2)平行、垂直关系中探索问题的解法：一般
17、先假设结论成立(存在)若推证有矛盾，则结论不成立(不存在)；若推证无矛盾则结论成立(存在)(3)证明垂直关系的方法：证明线线垂直，经常转化为证明线面垂直；证明线面垂直，经常转化为证明线线垂直；证明面面垂直，经常转化为证明线面垂直或证明二面角为直角(4)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题解决(如求线面角转化为求直角三角形的内角)；线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化立体几何证明中的识图能力空间想象能力主要包括：(1)对基本几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析图形的基本元素之间的度量关系及位置关系；(2)能借助图形来反映并思考客观事物的空
18、间形状及位置关系；(3)能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系；(4)有熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的关系【典例】(2014全国新课标高考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离(1)【证明】设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)【解】VPAABADAB.由V，
19、可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.又AH.所以A到平面PBC的距离为.【规律感悟】正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构，能准确领会“点线线线线面面面”之间平行、垂直的联系，并能就解题的根据、需要，对这些关系加以转化，尤其线面平行、线面垂直的证明和相关角的运算，更能促进空间想象能力的提升1(2014广东高考)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)【解析】利用向量数量积公式的变形公式cosa，b求向量的夹角，对各选项逐一计算验证各选项给出的向量的模都是
20、，|a|.对于选项A，设b(1,1,0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项B，设b(1，1,0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b60，正确对于选项C，设b(0，1,1)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项D，设b(1,0,1)，则cosa，b1.因为0a，b180，所以a，b180.故选B.【答案】B2(2014全国新课标高考)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值是()A. B. C. D.【解析】补成正方体，利用向量的方法求异面直线所
21、成的角由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCA、CC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1，1,2)，N(0,1,2)，(1,1,2)(2,2,0)(1，1,2)，(0,1,2)cos，.故选C.【答案】C3(2013山东高考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C. D.【解析】画出三棱柱ABCA1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设
22、O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tanPAO，PAO.【答案】B4(2014辽宁高考)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点()求证：EFBC；()求二面角EBFC的正弦值图1()【证明】法一过E作EOBC，垂足为O，连接OF.如图(1)由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，因此BC面EFO，又EF面EFO，所以EFBC.图2法二由题意，以B为坐
23、标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图2所示空间直角坐标系易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)因而E(0，)，F，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.()【解】法一在图(1)中，过O作OGBF，垂足为G，连接EG.由平面ABC平面BDC，从而EO面BDC，又OGBF，由三垂线定理知，EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos30，由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.法二在图(2
24、)中，平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又，.由得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC大小为，且由题意知为锐角，则cos |cosn1，n2|，因此sin ，即所求二面角的正弦值为.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1利用空间向量证明空间位置关系平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，此类问题多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，主要考查学生的空间想象能力和计算能力，利用空间向量判断空间线面关系更是近几年高考题的新亮点试题多以解答题的形式出现，且常出现在解答题的第(1)问中，常考常新，难度为中档题2利用空间向量求空间角该考向是高考命题的重要内容，此类问题多以多面体(棱柱、棱锥)为载体，考查空间角的求法，特别是线面角和二面角的求法，从能力角度主要考查学生的空间想象能力和计算能力试题多以解答题的形式出现，难度为中高档题3利用空间向量解决探索性问题此类问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题主要考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力试题多以解答题的形式出现，属于中、高档题