1、高考资源网（） 您身边的高考专家23.2两个变量的线性相关1.了解最小二乘法的思想2.理解线性相关关系3.掌握线性回归方程的求法, 学生用书P45)1线性相关关系能用直线方程近似表示的相关关系，叫做线性相关关系如果在散点图中，各点都集中在一条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系2回归直线方程和最小二乘法(1)回归直线方程在散点图中，所有数据点都分布在一条直线附近我们要找一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点记此直线方程为abx，这里y的上方加记号“ ”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi(i1，2，n)时，Y相应的观察值为yi；而直线上对应于xi的纵坐标是iabxi.式叫做Y对x
2、的回归直线方程，b叫做回归系数(2)最小二乘法设x、Y的一组观察值为(xi，yi)，i1，2，n，且回归直线方程为abx，当x取值xi(i1，2，n)时，Y的观察值为yi，差yii(i1，2，n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q(yiabxi)2作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法(3)回归直线方程的系数计算公式回归直线方程回归系数系数的计算公式方程或公式abx上方加记号“ ”的意义区别：Y的实际值为y；表示估计值a、b上方加“ ”
3、表示由观察值按最小二乘法求得的估计值(4)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为abx，则xx0处的估计值为：0abx01判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)线性回归方程必经过点(，)()(2)对于方程x，x增加一个单位时，y平均增加个单位()(3)样本数据中x0时，可能有y.()(4)样本数据中x0时，一定有y.()解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x0时，y的值可能为，也可能不是，故(3)正确答案：(1)(2)(3)(4)2某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A10x20
4、0B10x200C10x200D10x200解析：选A.由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x10时，A中y100，而C中y300，C不符合题意，故选A.3已知工厂加工零件的个数x与花费时间y(h)之间的线性回归方程为0.01x0.5，则加工200个零件大约需要_小时解析：将200代入线性回归方程0.01x0.5，得2.5.答案：2.5求回归直线方程学生用书P46下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关
5、于x的线性回归方程x.【解】(1)散点图如图：(2)4.5，3.5，xiyi32.5435464.566.5，x3242526286，所以0.7，3.50.74.50.35.所以所求的线性回归方程为0.7x0.35.如果把例题中的y的值2.5及4.5分别改为2和5，如何求回归直线方程？解：散点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)可验证这四点共线，斜率k1，所以直线方程为y2x3，即回归直线方程为x1.求线性回归方程的步骤(1)计算平均数，.(2)计算xi与yi的积，求xiyi(3)计算x(4)将结果代入公式(5)用，求。(6)写出回归方程某地10户家庭的年收入和年饮食支出的
6、统计资料如下表：年收入x（万元）24466677810年饮食支出y（万元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3根据上述数据，家庭年收入与年饮食支出之间有怎样的关系呢？求出回归直线方程.解：以年收入x为横坐标，把年饮食支出y的相应取值作为纵坐标，描出如图所示散点图.由散点图可以看出，各散点在一条直线附近，且年收入越高，年饮食支出越高，说明这两个变量之间具有线性相关关系.对前面列表中的数据进行具体计算，可列出以下表格：i12345678910xi24466677810yi0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3xiyi1.85.66.41212.611.
7、412.614.717.6236，1.83，x406，y35.13，xiyi117.7故可得到：0.172，1.830.17260.798.从而得到回归直线方程为0.7980.172x.求回归直线方程并对总体进行估计学生用书P47随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20122013201420152016时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程t.(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t6)的人民币储蓄存款附：回归方程t中，.【解】(1)列表计算如下：itiyittiyi11515226412
8、337921448163255102550153655120这里n5，i3，i7.2.又tn25553210，tiyin120537.212，从而1.2，7.21.233.6，故所求回归方程为1.2t3.6.(2)将t6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为1.263.610.8(千亿元)回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关：可利用经验，也可以画散点图(2)求回归直线方程，注意运算的准确性(3)根据回归直线进行预测：估计值不是实际值，两者会有一定的误差 一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大，为调查这一问题，对某校10名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据(
9、单位：cm)：身高168170171172174176178178180181右手长度19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0(1)根据上述数据制作散点图，判断两者有无线性相关关系；(2)如果具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)如果一名同学身高为185 cm，估计他的右手长解：(1)散点图如图所示可见，身高与右手长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关(2)设回归直线方程是x.根据以上数据可由计算器计算得174.8，21.7，x305 730，x iyi37 986.所以0.303，31.264.所以回归直线方程为0.303x31.264.(3)当
10、x185时，0.30318531.26424.791，故该同学的右手长可估测为24.8 cm.对回归直线与回归方程的理解(1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近，既有可能存在某些样本点在回归直线上，也有可能所有样本点都不在回归直线上对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性，千万不要误解为回归直线一定是唯一的；但若只要样本数据确定了，回归直线方程也就唯一确定了(2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的因此，对一组样本数据，应先
11、作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程1求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系2求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误3得到的实验数据不同，则a、b的结果也不尽相同1根据一组数据判断是否线性相关时，应选哪个图()A茎叶图B频率分布直方图C散点图D频率分布折线图解析：选C.判断两个变量是否有线性相关关系时，应先画出散点图若这些点大体分布在一条直线附近则具有线性相关关系2一位同学对自家所开超市就“气温
12、与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x 与当天销售量y(个)之间的线性回归方程为2.352x147.767.估计在x2 时，可卖出热饮杯的杯数为()A128B134C143 D109解析：选C.将x2代入方程2.352x147.767即取y的估计值143.3回归直线方程bxa中，b的意义是_答案：x每增加一个单位，y就增加b个单位, 学生用书P109(单独成册)A基础达标1下列有关线性回归的说法，不正确的是()A两变量间确实存在关系，且变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性，这样的两个变量之间的关系叫做相关关系B在平面直角坐标系中用描点的方法得到两个变量的各组
13、数据的图形叫做散点图C线性回归直线方程最能代表具有线性相关关系的观测值x、y之间的关系D任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程解析：选D.由回归直线方程的概念可知，当一组观测值不具有线性相关关系时，求出的回归直线无代表意义，故选D.2下列有关回归直线方程bxa叙述正确的是()反映与x之间的函数关系；反映y与x之间的函数关系；表示与x之间不确定关系；表示最接近y与x之间真实关系的一条直线ABC D解析：选D.bxa表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系3已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为
14、()A1.23x0.08B1.23x5C1.23x4D0.08x1.23解析：选A.设回归直线方程为x，则1.23，因为回归直线必过样本点的中心，代入点(4，5)得0.08.所以回归直线方程为1.23x0.08.4下列命题：线性回归方法就是寻找一条贴近已知样本点的直线的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系来表示；通过回归直线方程bxa可以估计和预测变量的取值和变化趋势其中正确的命题是()A BC D解析：选D.根据回归分析的基本思想，说法都正确5已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得回归直线方程为x.若某同学根据上表
15、中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()Ab，a Bb，aCb，a Db，a解析：选C.由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y2x2，从而b2，a2.而利用回归直线方程的公式与已知表格中的数据，可求得，所以b，a.6调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：由回归直线方程的意义知，x每增加1万元，y平均增加0.254万元答案：0
16、.2547某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是_亿元解析：因为0.8x0.1，所以0.8150.112.1(亿元)答案：12.18对某台机器购置后的运营年限x(x1，2，3，)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归直线方程为10.471.3x，估计该台机器使用_年最合算解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即0，所以10.471.3x0，解得x8.05，所以该台机器使用8年最合算答案：89某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x千件2356成本y万元78912(1)画
17、出散点图；(2)求成本y与产量x之间的回归直线方程(结果保留两位小数)解：(1)如图(2)设y与产量x的回归直线方程为x，4，9，1.10，91.1044.60.所以线性回归方程为：1.10x4.60.10改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2012到2016年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2012年编号为1，2013年编号为2，2016年编号为5，数据如下：年份(x)12345人数(y)3581113根据这5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程x，并计算2019年的估计值参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.解：由已知数据得3，8，xiy
18、i310244465146，x149162555，则2.6，82.630.2，则回归直线的方程为2.6x0.2，则2019年的估计值为2.680.221.B能力提升11实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x的回归直线方程为()Ax1 Bx2C2x1 Dx1解析：选A.因为2.5，3.5，代入选项中可知选A.12为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4求(1)小李这5天的平均投篮命中率；(2)用
19、线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率解：(1)小李这5天的平均投篮命中率(0.40.50.60.60.4)0.5.(2)3，0.01，0.47，所以回归直线方程为0.01x0.47，则当x6时，y0.53.所以预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.13为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的回归直线方程；(2)利用第一问中的回归直线方程，预测t8时的细菌繁殖个数附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，解：(1)由表中数据计算得，5，4，(ti)(
20、yi)8.5，(ti)210，0.85，0.25，所以回归直线方程为0.85t0.25.(2)将t8代入第一问的回归直线方程中得0.8580.256.55.故预测t8时细菌繁殖个数约为6.55千个.14.(选做题)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：尿汞含量x246810消光系数y64134205285360(1)作出散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数.解：(1)由题设所给数据，可得散点图如下图所示.(2)由散点图可知y与x线性相关，设回归直线方程为x，列表：i12345xi246810yi64134205285360xiyi1285361230228036006209.6x220，xiyi7 774所以37.15，所以209.637.15613.3.所以回归直线方程为37.15x13.3.(3)当x9时，37.15913.3321.即估计尿汞含量为9毫克/升时，消光系数约为321.高考资源网版权所有，侵权必究！