1、第五节椭圆基础盘查一 椭圆的定义(一)循纲忆知掌握椭圆的定义，了解椭圆的简单应用(二)小题查验1判断正误(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P的轨迹是椭圆()2(人教 B 版教材习题改编)已知椭圆x2a2y2b21，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点 F1，另两个顶点 D，E 在椭圆上且边 DE 过焦点 F2，则F1DE 的周长为_4a3已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，且点N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是_
2、解析：由题意可知|PM|PN|MA|6.又 M(2,0)，N(2,0)，动点 P 的轨迹是椭圆椭圆基础盘查二 椭圆的标准方程和几何性质(一)循纲忆知1掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想(二)小题查验1判断正误(1)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()2(人教 A 版教材习题改编)焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为_x225y291 或x29 y22513若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则
3、该椭圆的离心率是_解析：由题意可知 2bac.即 2 a2c2ac，整理得 5c22ac3a20.即 5e22e30.解得 e35或 e1(舍去)35考点一 椭圆的定义及标准方程(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段 F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在提醒2标准方程中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为：x2a2y2b21(ab0)；中心在坐标原点，焦点
4、在 y 轴上的椭圆的标准方程为：y2a2x2b21(ab0)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成 Ax2By21 的形式，其中 A，B 是不相等的正常数，或设成 x2m2y2n21(m2n2)的形式提醒题组练透1(2014全国大纲卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23 y221 B.x23 y21C.x212y281 D.x212y241解析：由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又AF1B 的周长|AF1|A
5、F2|BF1|BF2|4 3，a 3.又 e 33，c1.b2a2c22，椭圆的方程为x23 y221，故选 A.答案：A2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为()A.x264y2481 B.x248y2641C.x248y2641 D.x264y2481解析：设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.答案：D 3(2015浙江金丽衢十二校二联)若椭圆 C
6、：x29 y221 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|4，则F1PF2()A.6B.3C.23D.56解析：由题意得 a3，c 7，则|PF2|2.在F2PF1 中，由余弦定理可得cosF2PF142222 7224212.又F2PF1(0，)，F2PF123.答案：C 类题通法1求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a|F1F2|这一条件2利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，F1PF2)(1)|PF1|PF2|2a；(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF
7、2|cos；(3)当 P 为短轴端点时，最大(4)SPF1F212|PF1|PF2|sin sin 1cos b2b2tan 2c|y0|.当 y0b，即 P 为短轴端点时，SPF1F2 有最大值为 bc.(5)焦点三角形的周长为 2(ac).考点二 椭圆的几何性质(题点多变型考点全面发掘)必备知识1椭圆的几何性质(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；(2)与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解提醒2椭圆的离心率椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离
8、心率(或离心率的取值范围)有两种方法：(1)求出 a，c 代入公式 eca；(2)只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合b2a2c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)一题多变(2015广州二模)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A.33 B.36C.13D.16 典型母题解析 如图，设 PF1 的中点为 M，连接 PF
9、2.因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为PF1F2 的中位线所以 OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF1|2|PF2|2 3|PF2|，由椭圆定义得 2a|PF1|PF2|3|PF2|a3|PF2|2，2c|F1F2|3|PF2|c 3|PF2|2，则 eca 3|PF2|223|PF2|33.故选 A.答案 A题点发散 1 本例条件变为“若PF1F2，PF2F1，且cos 55，sin()35”，则椭圆的离心率为_解析：cos 55 sin 2 55.sin()35cos()45.sin sin()11
10、 525.设|PF1|r1，|PF2|r2.由正弦定理得 r111 525 r22 552c35r1r221 5252c35eca 57.答案：57题点发散 2 本例条件变为“(OP2OF)2PF 0”试求 SF1PF2的面积解：(OP2OF)2PF(OP1F O)2PF 1F P2PF 0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则 mn2a.m2n24c2，(mn)22mn4c2.4a22mn4c2，4b22mn.mn2b2.SF1PF212mnb2.题点发散 3 本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为 21”，试求离心率范围解：设 P 到两个焦点的距离分别为 2k，k
11、，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c，即 k2c，2a6c，即 e13.又0e1，13e1.类题通法椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)(1)斜率：kb2x0a2y0.(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值b2a2.典题例析(2014江苏高考
12、)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为43，13，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值解：设椭圆的焦距为 2c，则 F1(c，0)，F2(c,0)(1)因为 B(0，b)，所以 BF2 b2c2a.又 BF2 2，故 a 2.因为点 C43，13 在椭圆上，所以169a219b21.解得 b21.故所求椭圆的方程为x22 y21.(2)因为 B(0
13、，b)，F2(c,0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为xcyb1.解方程组xcyb1，x2a2y2b21，得x1 2a2ca2c2，y1bc2a2a2c2或x20，y2b.所以点 A 的坐标为2a2ca2c2，bc2a2a2c2.又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2ca2c2，ba2c2a2c2.因为直线 F1C 的斜率为ba2c2a2c2 02a2ca2c2cba2c23a2cc3，直线 AB 的斜率为bc，且 F1CAB，所以ba2c23a2cc3bc 1.又 b2a2c2，整理得 a25c2.故 e215.因此 e 55.类题通法解决直线与椭圆的
14、位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单演练冲关(2014新课标全国卷)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解：(1)设 F(c,0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24 y2
15、1.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24 y21 中，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，由根与系数的关系得：x1x2 16k4k21，x1x2124k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足0.所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2 或 y72 x2.“课后演练提能”见“课时跟踪检测(四十九)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看