1、1.3.2空间几何体的体积【课时目标】1了解柱、锥、台、球的体积公式2会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题1柱体、锥体、台体的体积柱体：V_，V圆柱_锥体：V_，V圆锥_台体：V_，V圆台h(r2rrr2)其中S、S为底面面积，h为高，r、r为底面半径2球的表面积和体积S球_，V球_其中R是球的半径一、填空题1把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的_倍2正方体的内切球和外接球的体积之比为_3长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为_4一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之
2、比为_5设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_m36棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为_7已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是_8若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm39圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm二、解答题10如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比11已
3、知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA4，AC2，求该三棱锥的表面积与体积能力提升12有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度13有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算3柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体ShV台体h(SS)
4、V锥体Sh4“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系132空间几何体的体积 答案知识梳理1Shr2hShr2h(SS)h24R2R3作业设计12解析由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍213解析关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a两球体积之比为a3：(a)313350解析外接球的直径2R长方体的体对角线(a、b、c分别是长、宽、高)449解析设球半径为r，圆锥的高为h，则(3r)2hr3，可得hr4954解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所
5、求三棱锥的体积为V3424 m36解析连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V2(a)2748解析由R3，得R2正三棱柱的高h4设其底面边长为a，则a2，a4V(4)24488144解析此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台(8242)3112，V正四棱柱44232，故V1123214494解析设球的半径为r cm，则r28r33r26r解得r410解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEFA1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得设棱柱的底面积为S，高为h，则AEF的面积为
6、S，由于V1VAEFA1B1C1h(S)hS，剩余的不规则几何体的体积为V2VV1hShShS，所以两部分的体积之比为V1V27511解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VAVBVC4，ABBCAC2，取BC的中点D，连结VD，则VD，SVBCVDBC2，SABC(2)23，三棱锥VABC的表面积为3SVBCSABC333()点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点共线，VH即为三棱锥VABC的高，VH 2，VVABCSABCVH326，所以正三棱锥的体积是612解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V(h)2hh3，由VV，得hr即容器中水的深度为r13解设正方体的棱长为a如图所示正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1a，r1，所以S14ra2球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2a，r2a，所以S24r2a2正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2综上可得S1S2S3123