1、第九章解析几何第五节椭圆A级基础过关|固根基|1.已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0) B(0，)C(，0)或(，0) D(0，)或(，0)解析：选B因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x21即x21的焦点坐标为(0，)，故选B.2曲线1与曲线1(kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：选D由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a
2、12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.4已知点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B.C. D.解析：选AA(1，0)关于直线l：yx3的对称点为A(3，2)，连接AB交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|AB|2，所以椭圆C的离心率的最大值为.故选A.5已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A. B2C2 D.解析：选A由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a
3、4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21.故选A.6若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为_解析：由题意可得bc，则b2a2c2c2，则ac，故椭圆的离心率e.答案：7(2019届贵阳模拟)若椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知e，2b4，又a2b2c2，所以b2，a4，c2，所以椭圆的标准方程为1.答案：18(2019届昆明模拟)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘
4、积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10，则m|PF1|PF2|25，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，点P的坐标为(3，0)或(3，0)答案：(3，0)或(3，0)9已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程为1(ab0)焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)F1AF2A，0，而(4c，3)，(4c，3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5，0)，F2(5，0)2a|AF1|AF2| 4
5、.a2，b2a2c2(2)25215.椭圆的标准方程为1.10已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.B级素养提升|练能力|
6、11.(2019届湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C由题意知，c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF，所以FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理得|PF|8，又|PF|PF|2a6814，所以a7，所以b2a2c224，所以椭圆C的方程为1，故选C.12(2020届唐山市高三年级摸底)已知直线xy0过椭圆1(ab0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于
7、点C，若2，则该椭圆的离心率是_解析：因为直线xy0过椭圆1的左焦点F，所以F(，0)，则右焦点F(，0)，即c，直线xy0与y轴交于点C(0，1)，由2，知C为AF的中点，故A(，2)，因为点A在椭圆上，所以由椭圆的定义得2a|AF|AF|6，即a3，所以e.答案：13(2019届兰州市诊断考试)已知椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足2，求点P的轨迹方程解：(1)因为e，所以.又椭圆C经过点(，1)，所以1，联立解得a24，b22，所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)
8、，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2，得xx12x2，yy12y2，因为点M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故点P的轨迹方程为1.14(2019年全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|F1F2|2c，则|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2，得y2.又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)
