1、第八章立体几何第五节直线、平面垂直的判定及性质A级基础过关|固根基|1.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml BmnCnl Dmn解析：选C因为l，所以l，又n，所以nl.故选C.2.如图，在RtABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为() A4 B3C2 D1解析：选A由PA平面ABC可得，PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形3在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1
2、中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()解析：选D如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意故选D.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选B如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DNBM交MM1于
3、点N，则易证DN平面AA1C1C，连接AN，则DAN为AD与平面AA1C1C所成的角在直角三角形DNA中，sinDAN.5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是() ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：选D因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AEBC，PEBC，PEAEE，DFBC，所以BC平面PAE，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项B、C正确6若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为_解析：设圆锥的
4、底面半径为r，母线长为l，由题意rl3r2，即l3r，设母线与底面夹角为，则cos .答案：7.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：因为PC平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为ABAC，ABPC，ACPCC，所以AB平面PAC.又因为AP平面PAC，所以ABAP，即与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：如图，
5、连接AC，则ACBD，因为PA底面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC，所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)9如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAEB，点M，N分别是AE，CD的中点求证：(1)MN平面EBC；(2)EA平面EBC.证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF.因为M是AE的中点，所以MFAB.因为N是CD的中点，所以NCAB，所以MFNC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC
6、，所以MN平面EBC.(2)因为平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，又因为在矩形ABCD中，BCAB，所以BC平面EAB.又因为EA平面EAB，所以BCEA.因为EAEB，BCEBB，EB平面EBC，BC平面EBC，所以EA平面EBC.10.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CDAD.又因为PA底面ABCD，所以PACD，又PAADA，所以CD平面PAD.又因为AM平面
7、PAD，所以CDAM，而PC平面AMN，有PCAM，又因为PCCDC，则AM平面PCD，故AMPD.(2)延长NM，CD交于点E，因为PC平面AMN，所以NE为CE在平面AMN内的射影，故CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角，又因为CDPD，ENPN，则有CENMPN，且RtPMNRtPCD，所以MN，在RtPMN中，sinMPN，故CD与平面AMN所成角的正弦值为.B级素养提升|练能力|11如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于() A2 B
8、3C4 D5解析：选B设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，D1E平面ABD1，平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC，BC平面ABC，D1EBC，又ABBC，D1EABE，BC平面ABD1.又BC平面BCD1，平面BCD1平面ABD1.BC平面ABD1，AD1平面ABD1，BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，AD1平面BCD1.又AD1平面ACD1，平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直故选B.12，是两个平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在
9、内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_解析：由题意得，ABCD，所以A，B，C，D四点共面，中，因为AC，EF，所以ACEF.又因为AB，EF，所以ABEF.因为ABACA，所以EF平面ABDC.又因为BD平面ABDC，所以BDEF，故正确；中，由可知，若BDEF成立，则有EF平面ABDC，则有EFAC成立，而AC与，所成角相等是无法得到EFAC的，故错误；中，由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知EFAC，由可知正确；中，仿照的分析过程可知错误答案：13(2019年全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FB
10、C60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1
11、，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.14如图(1)，在RtABC中，ABC90，D为AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF；(2)求证：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：因为A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直理由如下：因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以A1BEF.又因为EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，因为CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直