1、基础盘查一 平面向量的数量积(一)循纲忆知1理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例(二)小题查验1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是0，2 ()2(人教 A 版教材例题改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则 ab_10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示(一)循纲忆知1掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2能运用数量积表示两个向量的夹
2、角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(二)小题查验1判断正误(1)由 ab0，可得 a0 或 b0()(2)两向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20()(3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()2(人教 A 版教材复习题改编)已知|a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为 30，则|ab|_.13已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于_9基础盘查三 平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算(二)小题查验1判断正误(1)(ab)ca(bc)()(2)abac(
3、a0)，则 bc()2(人教 A 版教材习题改编)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60，则向量 a2e1e2 与 b2e23e1 的夹角为_150考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点自主练透)必备知识1平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos，规定 0a0.2向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积提醒
4、 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量题组练透1(2015云南统一检测)设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于()A72 B12C32D52解析：a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则 m12，所以 ab112 2152.2(2013湖北高考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A3 22B3 152C3 22D3 152解析：AB(2,1)，CD(5,5)，由定义知AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|155 23 22.3(
5、2014重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|10，则 ab_.解析：因为 a(2，6)，所以|a|22622 10，又|b|10，向量 a 与 b 的夹角为 60，所以 ab|a|b|cos 602 10 101210.104(2015东北三校联考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，DE2EC，DF 12(DC DB)，则BEDF _.解析：如图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系则 B(0,0)，E2，23，D(2,2)由DF 12(DCDB)知 F 为 BC 的中点，故BE2，23，DF(1，2)，BE
6、DF 243103.103类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(1)在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则不一定得到 bc.提醒(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点多角探明)必备知识已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)：x1x2y1y20ab0ab的充要条件夹角模坐标表示几何表
7、示结论|a|aa|a|x21y21cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22多角探明平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 中点，则|AD|等于()A2 B4C6 D8解析：因为AD12(AB AC)12(2a2b2a6b)2a2b，所 以|AD|2 4(a b)2 4(a2 2ba b2)4 322
8、 3cos64 4，则|AD|2.2(2014北京高考)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且 ab0(R)，则|_.解析：|a|1，可令 a(cos，sin)，ab0.cos 20，sin 10，即cos 2，sin 1.由 sin2cos21 得 25，得|5.5角度二：平面向量的夹角3向量 a，b 均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则 a，b的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析：(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得 cosa，b12，又因为 0a，
9、b，所以a，b3.答案：B4(2014江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2 与 b3e1e2 的夹角为，则 cos _.解析：因为 a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e2299111328，所以 cos ab|a|b|832 22 23.2 23角度三：平面向量的垂直5(2014重庆高考)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92B0C3 D152解析：因为
10、2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3，选 C.6在直角三角形 ABC 中，已知 AB(2,3)，AC(1，k)，则 k的值为_解析：当 A90时，AB AC，ABAC0.213k0，解得 k23.当 B90时，ABBC，又BC ACAB(1，k)(2,3)(1，k3)，ABBC2(1)3(k3)0，解得 k113.当 C90时，ACBC，1(1)k(k3)0，即 k23k10.k3 132.答案：23或113 或3 132.类题通法平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非
11、零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|ab2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013江苏高考)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值解：(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)因为 ab(cos cos
12、，sin sin)(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1.由此得，cos cos()，由 0，得 0.又 0，所以 56，6.类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等演练冲关已知向量 acos 3x2，sin 3x2，bcos x2，sin x2，c(3，1)，其中 xR，(1)当 ab12时，求 x 的取值集合；(2)
13、设函数 f(x)(ac)2，求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间解：(1)abcos 3x2 cos x2sin 3x2 sin x2cos x12，x2k3(kZ)所求 x 的取值集合为xx2k3，kZ.(2)accos 3x2 3，sin 3x2 1，f(x)(ac)2cos 3x2 3 2sin 3x2 1 252 3cos 3x2 2sin 3x2 5412sin 3x2 32 cos 3x254sin3x2 3.最小正周期为 T23243.由 2k23x2 32k2(kZ)，得4k3 9x4k3 59(kZ)单调递增区间是4k3 9，4k3 59(kZ)“课后演练提能”见“课时跟踪检测(二十七)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看