1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算基础盘查一 向量的有关概念(一)循纲忆知1了解向量的实际背景；2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3理解向量的几何表示(二)小题查验1判断正误(1)向量AB与向量BA是相等向量()(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关()2(人教 A 版教材例题改编)如图，设 O是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA，OB，OC 相等的向量解：OACBDO；OBDC EO；OC ABEDFO.
2、基础盘查二 向量的线性运算(一)循纲忆知1掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2掌握向量数乘的运算及其几何意义；3了解向量线性运算的性质及其几何意义(二)小题查验1判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量()(2)BAOAOB()(3)向量 ab 与 ba 是相反向量()(4)两个向量相加就是两个向量的模相加()2(人教 A 版教材习题改编)化简：(1)(ABMB)BOOM _.(2)NQQPMN MP_.AB0基础盘查三 共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用(二)小题查验1判断正误(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()(2)若
3、ab，bc，则 ac()(3)向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()2已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.13考点一 向量的有关概念(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相
4、等且方向相反的向量题组练透1给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac.其中正确命题的序号是()A B CD不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 ABDC，|AB|DC|且 ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相
5、同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，既使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选A.2设 a0 为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是()A0 B1C2 D3向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题
6、综上所述，假命题的个数是3.类题通法平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线考点二 向量的线性运算(重点保分型考点师生共研)必备知识1向量的加法定义：求两个向量和的运算运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)2向量的减法定义：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a(b)ab.求两个向
7、量差的运算叫做向量的减法运算法则(几何意义)：如图3向量的数乘定义：实数 与向量 a 的积运算，即 a.运算法则(几何意义)：如图，a 的长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.运算律：(a)()a；()aaa；(ab)ab.(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；提醒(2)0 或 a0a0.典题例析1(2014新课标全国卷)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A ADB12ADCBCD12BC解析：EBFC 12(ABCB)12(ACBC)12(ABAC
8、)AD，故选 A.2(2013江苏高考)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_解析：DEDBBE12AB23BC12AB23(BAAC)16AB23AC，所以 116，223，即 1212.12类题通法1向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2两个结论(1)P 为线段 AB 的中点OP12(
9、OAOB)；(2)G 为ABC 的重心GAGBGC0演练冲关1(2015聊城二模)在ABC 中，ABc，ACb.若点 D 满足BD2DC，则AD()A.23b13c B.53c23bC.23b13cD.13b23c解析：如图，可知 ADABBDAB23(AC AB)c23(bc)23b13c.故选 A.2若典例 2 条件变为：若AD2DB，CD13CACB，则 _.解析：CDCA AD，CDCBBD，2CDCACB ADBD.又 AD2DB，2CDCACB13ABCACB13(CBCA)23CA43CB.CD13CA23CB，即 23.23考点三 共线向量定理的应用(题点多变型考点全面发掘)必
10、备知识共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得 ba.限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性提醒一题多变典型母题设两个非零向量 e1 和 e2 不共线如果ABe1e2，BC2e13e2，AF 3e1ke2，且 A，C，F 三点共线，求 k 的值解 ABe1e2，BC2e13e2，AC ABBC3e12e2.A，C，F 三点共线，AC AF，从而存在实数，使得ACAF.3e12e23e1ke2，又 e1，e2 是不共线的非零向量，33，2k，因此 k2.实数 k 的值为 2.题点发散1 在本例条件设两个非零向量e1和e2不共线如果 ABe1e2，BC2e1
11、3e2，AF 3e1ke2，且 A，C，F 三点共线下，试确定实数 k，使 ke1e2 与 e1ke2 共线解：ke1e2 与 e1ke2 共线，存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，即 ke1e2e1ke2，k，1k，解得 k1.题点发散2 在本例条件设两个非零向量e1和e2不共线下，如果 ABe1e2，BC 3e12e2，CD 8e12e2，求证：A，C，D三点共线证明：ABe1e2，BC3e12e2，AC ABBC4e1e2，又CD8e12e2，CD2AC，AC与CD共线又AC与CD有公共点 C，A，C，D 三点共线类题通法1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若 a，b 不共线，则 ab0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若 ABAC，则 A，B，C 三点共线 “课后演练提能”见“课时跟踪检测(二十五)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看