1、【考纲下载】1在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数2会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题1利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yAf(x)(3)对称变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x
2、)(4)翻折变换：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.1函数yf(x)的图象关于原点对称与函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：函数yf(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称3若函数yf(x)的图象关于点(a,0)(a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为yf(xa)1函数yx|x
3、|的图象经描点确定后的形状大致是()解析：选Ayx|x|为奇函数，奇函数图象关于原点对称2(2013四川高考)函数y的图象大致是()解析：选C因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x0，所以B错；当x时，y0，所以D错3(2013北京高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1解析：选D与曲线yex关于y轴对称的曲线为yex，函数yex的图象向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)e(x1)ex1.4函数yf(x)在x2,2的图象如图所示，则当x2，2时，f(x)f(x)_.解析：由图象可
4、知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)0.答案：05若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：方程|x|ax只有一个解，即函数f(x)|x|与g(x)ax的图象有且只有一个公共点，在同一坐标系内画出两函数的图象可知a0.答案：(0，)考点一作函数的图象 例1作出下列函数的图象：(1)y|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y； (4)yx22|x|1. 自主解答(1)作出yx的图象，保留yx图象中x0的部分，加上yx的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，如图实线部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折
5、上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图(3)y2，故函数图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，即得函数图象如图【方法规律】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|； (2)y2x2；(3)y； (4)y|log2
6、x1|.解：(1)y|lg x|函数y|lg x|的图象如图(1) 图(1)图(2) (2)将函数y2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y2x2的图象，如图(2)(3)y1，可见原函数图象可由y图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)图(3)图(4) (4)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图(4).高频考点考点二 识图与辨图1高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中2高考对识图问题的考查主要有以下几个命题角度：(
7、1)借助实际情景探究函数图象；(2)已知解析式确定函数图象；(3)已知函数解析式(或图象)确定相关函数的图象；(4)借助动点探究函数图象例2(1)(2013湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()(2)(2013山东高考)函数yxcos xsin x的图象大致为() ABCD (3)(2012湖北高考)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()ABCD (4)(2013江西高考)如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1
8、m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令ycos x，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图象大致为()ABCD 自主解答(1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.(2)先判断函数yxcos xsin x是奇函数，所以排除B；再判断其零点，令yxcos xsin x0，得tan xx，画图知其在(0，)上有且仅有一个零点，故排除A、C.(3)法一：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)故其对应的
9、图象应为B.法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选B.(4)如图，设MON，由弧长公式知x，在RtAOM中，|AO|1t，cos1t，ycos x2cos212(t1)21(0t1)故其对应的图象应为B.答案(1)C(2)D(3)B(4)B识图问题的常见类型及解题策略(1)由实际情景探究函数图象关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题(2)由解析式确定函数图象此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法(3)已知函数图象确定相关函数的图象此类问题主要考查函数图象的变换
10、(如平移变换、对称变换等)，要注意函数yf(x)与yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|等的相互关系(4)借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择1如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为() A1 B2 C3 D4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变
11、化率上反映出来；图应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化规律是先快后慢再快，正确；中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的2若loga20，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是()解析：选B由loga20，得0a0的解集；(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根自主解答(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|mx|x|4x|函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为x|0x4(5)由图象可知若
12、yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，故集合Mm|0mg(2)1，f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.2已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点答案：(0,1)(1,4)课堂归纳通法领悟1个注意点图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错2个区别函数图象的
13、对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系3个关键点正确作出函数图象的三个关键点(1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程 易误警示(二)函数图象问题题干信息提取有误典例(2013安徽高考)函数
14、yf(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围是()A3,4B2,3,4C3,4,5 D2,3解题指导利用的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题，并利用数形结合求解解析由题意，函数yf(x)图象上的任一点坐标为(x，f(x)，故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率若，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线yf(x)就有n个交点借助图形可知，n的取值可为2,3,4.答案B名师点评1.解决本题的易错点有两处：(1)不能将转化为点(x，f(x)与坐标原点连线的斜率；(2)不能将转化为过原点的直线与曲线yf(x)
15、有n个交点以上两处错误均由不能正确提取题干信息而致2利用图象信息分析解决函数性质和参数取值问题的常用方法有：(1)定性分析法：根据图象对称性，上升、下降的趋势等特征分析、解决问题(2)定量计算法：通过图象所过特殊点等有关量的条件，进行相应计算来分析解决问题(3)函数模型法：根据所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用函数模型来分析解决问题已知定义在区间0,1上的函数yf(x)的图象如图所示，对于满足0x1x2x2x1；x2f(x1)x1f(x2)；x1得x2x10，f(x2)f(x1)0，故即为1，表示图象上任意两点的连线斜率均大于1，观察图象显然不对，故不正确；由函数图象在每一点处的切线的倾
16、斜角都是递减的，知0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.3在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()ABCD解析：选C当幂指数a0时，函数图象不过坐标原点，且在(0，)上单调递减，选项A，B中的图象符合幂指数a0时，幂函数的图象过坐标原点，且在(0，)上单调递增，选项C，D中的幂函数图象符合要求，但选项D中的一次函数yax中a0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln|x|符合条件5(2014青岛模拟)函数yf(x)的图象如图所示，则函
17、数ylogf(x)的图象大致是()解析：选C由函数yf(x)的图象知，当x(0,2)时，f(x)1，所以logf(x)0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以ylogf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数6(2014汉中模拟)f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为()A(，1)B(，1C(0,1) D(，)解析：选Ax0时，f(x)2x1.0x1时，10时，f(x)是周期函数如图欲使方程f(x)xa有两个不同的实数解，即函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同的交点，故a0时，f(x)x22x3，试求f(
18、x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间解：f(x)的图象关于原点对称，f(x)f(x)，当x0时，f(x)0.又当x0时，f(x)x22x3，当x0时，f(x)x22x3.函数的解析式为f(x)作出函数的图象如图根据图象可以得函数的增区间为(，1)，(1，)；函数的减区间为(1,0)，(0,1)11设函数f(x)x(x(，0)(0，)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求函数yg(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标解：(1)设P(u，v)是yx上任意一点，vu.设P关
19、于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，代入得2y4xyx2，g(x)x2(x(，4)(4，)(2)联立x2(b6)x4b90，(b6)24(4b9)b24b0b0或b4.当b0时，交点为(3,0)；当b4时，交点为(5,4)12已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根解：f(x)作出图象如图所示(1)单调递增区间为(1,2，(3，)，单调递减区间为(，1，(2,3(2)由图象可知当yf(x)与ymx的图象有四个不同的交点时，直线ymx应介于x轴与切线l1之间x2(m4)x30.由0，得m42.当m42
20、时，x(1,3)，舍去所以m42，故直线l1的方程为y(42)x.所以m(0,42)即集合Mm|0m0，且a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_解析：由题知，当x(1,1)时，f(x)x2ax，即x2ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图象，如图，当x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需所以a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.答案：(1,2高频滚动1设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则()Aabc BcbaCcab Dbac解析：选A如图，在同一坐标系中，作出函数yx，y2x，ylog2x和logx的图象由图象可知abc.2若不等式x2logax0在内恒成立，则a的取值范围是_解析：不等式x2logax0在内恒成立，0a1，且loga.解得a1.答案：