1、高考资源网（） 您身边的高考专家3二倍角的三角函数Q如图甲所示，已知弓弦的长度AB2a，弓箭的长度MN2b(其中MAMB，MNAB)假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等(如图乙所示)，设AMN，你能用a，b表示AMB的正切值，即tan 2的值吗？tan 2与tan 之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍角与半角公式的知识X1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)在和角公式S，C，T中，当时就可得到二倍角的三角函数公式S2，C2，T2.sin 2_2sin cos _，cos 2_cos 2sin 2_，tan 2_.(2)余弦函数的二倍角公式有三种形式，即cos 2_cos 2sin
2、 2_2cos 21_12sin 2_，由此可得变形公式sin 2_，cos 2_，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用2半角公式(1)sin _.(2)cos _.(3)tan _.在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号知识点拨1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2是的二倍角，4是2的二倍角，8是4的二倍角，是的二倍角这里的蓄含着换元思想这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的2二倍角公式的逆用、变形用(1)逆用形式：2sin cos sin 2；sin cos sin 2
3、；cos ；cos 2sin 22cos 2112sin 2cos 2；tan 2.(2)变形用形式：1sin 2sin 2cos 22sin cos (sin cos )2；1cos 22cos 2；1cos 22sin 2；cos 2；sin 2.Y1已知sin ，cos ，则sin 2等于(D)ABCD解析sin 22sin cos .2(2018全国卷)若sin ，则cos 2(C)ABCD解析cos 212sin 2122.3若tan ，则tan 2(A)ABCD解析tan 2.4cos 2sin 2_.解析由二倍角公式，得cos 2sin 2cos (2).H命题方向1二倍角公式的
4、正用典例1已知sin cos ，且0，求sin 2，cos 2，tan 2的值思路分析解析sin cos sin 2cos 22sin cos ，sin 2且sin cos 0.00，cos 0，sin cos ，cos 2cos 2sin 2(sin cos )(cos sin )()，tan 2.规律总结对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解跟踪练习1已知sin ，(，)，求sin 2、cos 2、tan 2的值解析sin ，(，)，cos ，sin 22sin
5、 cos 2()，cos 2cos 2sin 2()2()2，tan 2().命题方向2二倍角公式的逆用典例2求下列各三角函数式的值：(1)cos 72cos 36；(2).思路分析对于(1)题，72236，应想办法“凑”成二倍角形式；对于(2)题，须先通分，分子引入辅助角后适合两角和的正弦公式，分母恰好也适合二倍角的正弦公式，约分后即可得值解析(1)原式cos 36cos 72.(2)原式4.规律总结(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得
6、解(2)当公式出现2sin cos 时，要逆用公式，然后再寻找关系解决跟踪练习2求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)12sin 2390；(3)；(4)；(5)cos 20cos 40cos 80.思路分析解析(1)原式.(2)原式cos (2390)cos 780cos (236060)cos 60.(3)原式tan (2330)tan 660tan (72060)tan 60.(4)原式4.(5)原式.命题方向3半角公式的应用典例3已知sin cos ，450540，求tan 的值思路分析要求tan 的值，结合条件，可以联立sin 2cos 21，求得sin ，cos ，从而获解
7、但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法解析由题意得2，即1sin ，得sin .而450540，cos ，tan 2.规律总结利用半角公式求tan 的值时，为避免讨论，一般尽量采用半角正切公式的有理式tan ，利用半角公式求sin ，cos 的值时，要注意根号前面的符号由角所在象限相应的三角函数值的符号来确定跟踪练习3已知|cos |，且3，求sin ，cos ，tan 的值分析本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得解析|cos |，3，cos ，.由cos 12sin 2，有sin .又cos 2cos 21，有cos ，tan 2.X
8、二倍角公式的变形应用典例4(1)化简：2；(2)设(，2)，化简：.思路分析(1)1sin 8sin 242sin 4cos 4cos 24(sin 4cos 4)2,2(1cos 8)4cos 24.(2)连续运用公式：1cos 22cos 2.解析(1)原式22|sin 4cos 4|2|cos 4|.因为4(，)，所以sin 40，cos 40，cos 0.故原式|cos |cos .规律总结二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要特别是1cos 22cos 2，1cos 22sin 2形式相似极易出错应用时要加强“目标意识”(2)公式变形的主要形式有1sin 2sin 2c
9、os 22sin cos (sin cos )2,1cos 22cos 2，1cos 22sin 2，cos 2，sin 2.跟踪练习4化简cos 2(15)sin 2(15)sin (180)cos (180)解析原式sin 21cos (230)cos (230)sin 21(cos 2cos 30sin 2sin 30cos 2cos 30sin 2sin 30)sin 21(sin 2sin 30)sin 21.Y典例5已知是第二象限角，化简.错解原式sin cos sin cos 2sin .错因分析在去根号时，对sin cos 的符号未加以讨论，导致化简错误正解原式|sin cos
10、 |sin cos |.因为是第二象限角，即2k2k，kZ，所以k0且cos 0，解得的取值范围是(2k，2k)(2k，2k)，kZ.K1cos 2的值为(D)A1BCD解析原式.2(cos sin )(cos sin )(D)ABCD解析原式cos 2sin 2cos .3(2018全国卷)函数f的最小正周期为(C)ABCD2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期为T.4已知tan ()2，则tan 2_.解析tan ()2，tan .tan 2.5利用倍角公式求下列各式的值(1)2sin cos ；(2)12sin 2750；(3)；(4)cos cos ；(5).解析(1)原式sin sin .(2)原式cos (2750)cos 1500cos (604360)cos 60.(3)原式tan (2150)tan 300tan (36060)tan 60.(4)原式cos cos cos sin sin .(5)原式4.- 9 - 版权所有高考资源网