1、第12课时导数的应用与定积分1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2会利用导数解决某些实际问题3了解定积分的实际背景、基本思想和概念，了解微积分的基本定理的含义对应学生用书P40【梳理自测】一、函数的最值1(教材改编)函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是()A9B16C12 D112函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1 De3用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cmC10 cm D1
2、2 cm4函数f(x)xex在区间0,1上的最小值为_答案：1.B2.C3.B4.1e以上题目主要考查了以下内容：假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值若函数在(a，b)内是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得解决优化问题的基本思路二、定积分和微积分基本定理1.(x21)dx_.2(教材改编)直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形面积为_答案：1.122.以上题目主要考查了以下内容：(1)定积分的几何意义如果函数f(x)在区间a，b上连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲
3、线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这就是定积分f(x)dx的几何意义(2)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)(3)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式【指点迷津】1一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函
4、数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值2两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较3三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取
5、得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件对应学生用书P41考向一函数的最大(小)值与导数已知函数f(x)ex(ax22x2)，aR且a0.(1)若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线垂直于y轴，求实数a的值；(2)当a0时，求函数f(|sin x|)的最小值【审题视点】(1)由f(2)0解方程求a.(2)令t|sin x|，转化为a0时，f(t)(0t1)的最小值【典例精讲】由题意得，f(x)(ex)(ax22x2)ex(ax22x2)ex(ax22x2)ex(2ax2)
6、aex(x)(x2)(1)由曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得f(2)0，即ae2(2)(22)4ae20，解得a1.(2)设|sin x|t(0t1)，则只需求当a0时，函数yf(t)(0t1)的最小值令f(x)0，解得x或x2，而a0，即2.从而函数f(x)在(，2)和(，)上单调递增，在(2，)上单调递减当1，即0a2时，函数f(x)在0,1上为减函数，yminf(1)(a4)e；当01，即a2时，函数f(x)的极小值即为其在区间0,1上的最小值，yminf()2e.综上可知，当0a2时，函数f(|sin x|)的最小值为(a4)e；当a2时，函数
7、f(|sin x|)的最小值为2e.【类题通法】求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，首先可判断函数在a，b上的单调性，若函数在a，b上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值若函数在(a，b)上不单调，一般先求(a，b)上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值1(2014徐州模拟)已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解析：(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得(
8、2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.考向二导数在实际问题中的应用(2014泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x6)，年销售
9、为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润【审题视点】利用待定系数法求出比例系数，从而确定u，可写出y的函数，根据导数求出最值【典例精讲】(1)设uk2.售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2，u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108.(x6)(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令y0，得x2(x6，舍去)或x9，显然，当x(6,9)时，y0；当x(9，)时，y0，函数y2x333x2108x10
10、8在(6,9)上是增加的；在(9，)上是减少的，当x9时，y取最大值，且ymax135，售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元【类题通法】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；4还原到原实际问题中作答22013年“十一”长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，“十一”后，某旅游区管
11、理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：yxax2ln ，t，)，其中t为大于的常数当x10时，y9.2.(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值解析：(1)当x10时，y9.2，即10a102ln 19.2，解得a.f(x)xln .t且t，6x，即投入x的取值范围是.(2)对f(x)求导，得f(x).令f(x)0，得x50或x1(舍去)当x(6,50)时，f(x)0，且f(x)在(6,50上连续，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当x(50，)时，f(x)0，且f(x)在50，)
12、上连续，因此，f(x)在50，)上是减函数x50为极大值点当50，即t时，投入50万元改造时取得最大增加值；当650，即t时，投入万元改造时取得最大增加值考向三定积分及应用(1)已知函数f(x)，则f(x)dx_.(2)(2014北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于_【审题视点】(1)根据分段函数把f(x)dx分两段积分(2)把面积看作f(x)dx.【典例精讲】由已知得f(x)dx0sin xdx(x2)dxcos x0(2x)1.(2)所求面积为3x2dxx31.【答案】(1)1(2)1【类题通法】(1)定积分的计算方法：利用定积分的几何意义，转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一
13、部分等)的面积应用微积分基本定理：(2)求定积分f(x)dx时，可按以下两步进行：第一步：求使F(x)f(x)，成立的F(x)第二步：计算F(b)F(a)(3)求曲边图形面积的方法与步骤：画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和3(2014长春市高三调研)设axdx，b1xdx，cx3dx，则a、b、c的大小关系为()AabcBbacCacb Dbca解析：选A.由题意可得axdxx；b1xdx11(0)；cx3dx，综上abc，故选A.对应学生用书P42 某商场销售某种商品的经验表明
14、，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【审题视点】根据x5，y11，待定a的值，从而写出y的函数再构造利润函数，求其最大值【思维流程】根据题意，待定a.写销售量的函数y.写利润函数f(x)，并写出定义域求导函数f(x)研究单调性，求极大值说明极大值为最大值回答题目结论【规范解答】(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.2分 (2)由(1)可知，该商品每
15、日的销售量y10(x6)2，3分所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2.(3x6)7分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).9分于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 12分当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.13分【规范建议】正确化简销售量函数yf(x)并求导是解题的关键，确定
16、函数的极大值是解答的中心内容，解题最后要答出题目所问问题1(2013高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2解析：选C.首先求出速度等于0时的时刻，从而得到汽车行驶的时间，然后利用定积分求出汽车行驶的距离由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为0v(t)dt0dt425ln 5.2若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1
17、S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析：选B.S1x2dxx323，S2dxln xln 2，S3exdxexe2ee(e1)，ln 2ln e1，且2.5e(e1)，所以ln 2e(e1)，即S2S1S3.3(2013高考浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解析：(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y46(x2)，即6xy80.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大