1、第四节二次函数与幂函数【考纲下载】1了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况2理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1幂函数的定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2五种幂函数的图象3五种幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，) 时，增增增x(0，) 时，减x(，0 时，减x(，0) 时，减4.二次函数的图象和性质a0a0(a0)与ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(
2、a0)恒成立的充要条件是1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x解析：选B设f(x)x，则3，2.即f(x)x2.2(教材习题改编) 如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，解析：选B由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2，2.3函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增解析：选D因为f(x)
3、(m1)x22mx3为偶函数，所以2m0，即m0.所以f(x)x23.由二次函数的单调性可知，f(x)x23在(5，3)上为增函数4已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，165设函数f(x)mx2mx1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_解析：当m0时，显然成立；当m0时，解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0答案：(4,0考点一幂函数的图象及性质 例1(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)当0x1时，f(x)x1.1，g(
4、x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_自主解答(1)设幂函数的解析式为yx，幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，24，解得.y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线yx的上方，对照选项，故选C.(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)g(x)f(x)答案(1)C(2)h(x)g(x)f(x)【方法规律】幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适
5、当的函数，借助其单调性进行比较幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1m3B0C1 D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m0，y1y20Bx1x20，y1y20Cx1x20Dx1x20，y1y20自主解答(1)A项，a0，0，b0.又abc0，c0，由图知f(0)c0，故A错；B项，a0，0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故B错；C项，a0，0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故C错；D项，a0，0，b0，又abc0，c0，由图知f(0)c0，故选D.(2)f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2
6、)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)与g(x)的图象如图由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值为g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)(a2)a2816.(3)由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B关于原点的对称点B(x2，y2)，所以x2x20，y2y20，由图可知，x1x2，y1y2，所以x1x20，y1y20，故B正确答案(1)D(2)C(3)B二次函数图象与性质问题的常见类型及解题策略(1)图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标的交点等方面着
7、手讨论或逐项排除(2)最值问题画出函数图象，利用数形结合求解(3)与其他图象的公共点问题解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数的图象，要注意其相对位置关系1函数yax2a与y(a0)在同一坐标系中的图象可能是()解析：选D当a0时，二次函数yax2a的图象开口向上，且对称轴为x0，顶点坐标为(0，a)，故排除A，C；当a0时，二次函数yax2a的图象开口向下，且对称轴为x0，顶点坐标为(0，a)，函数y的图象在第二、四象限，故排除B，选D.2. 如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5
8、ab.其中正确的是()A B C D解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确课堂归纳通法领悟1个注意点二次函数的二次项系数在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论2个条件一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是2种方法二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y
9、f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)3种形式二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k)(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标) 数学思想(二)分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根
10、据参数的最值情况进行分类讨论典例(2014萍乡模拟)已知x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2) B(2，) C(0，) D(0,4) 解题指导f(x)0恒成立f(x)min0.求函数f(x)x2ax的最小值应抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系进行分类讨论，结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求解解析二次函数图象开口向上，对称轴为x，又x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)最小值0.当1，即a2时，f(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a2时，(a)240，解得0a
11、2.综上得实数a的取值范围是(0,2)答案A题后悟道二次函数求最值问题，一般先用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，则实数a的值为_解析：f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意
12、，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.答案：或3全盘巩固1二次函数yx24xt图象的顶点在x轴上，则t的值是()A4B4C2D2解析：选A二次函数图象的顶点在x轴上，所以424(1)t0，解得t4.2下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1解析：选B函数yx2的定义域、值域分别为R和0，)，且其图象关于
13、y轴对称，故该函数应与图象对应；函数yx的定义域、值域都是0，)，故该函数应与图象对应；函数yx1，该函数应与图象对应，故排除选项C，D.对于函数yx，随着x的增大，函数图象向x轴弯曲；而对于函数yx3，随着x的增大，函数图象向y轴弯曲，故图象应与函数yx3对应3设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若ac，则函数f(x)的图象不可能是() A B C D解析：选D由A，B，C，D的四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1x2，由于ac，所以x1x21，比较四个选项，可知选项D的x11，x21，所以D不满足4已知函数f(x)x2bxc且f
14、(1x)f(x)，则下列不等式中成立的是()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(0)f(2)f(2) Df(2)f(0)f(2)解析：选Cf(1x)f(x)，(x1)2b(x1)cx2bxc.x2(2b)x1bcx2bxc.2bb，即b1.f(x)x2xc，其图象的对称轴为x.f(0)f(2)0恒成立即可结合f(x)ax2(3a)x1的图象，当a0时验证知符合条件；当a0时必有a0，当x0时，函数在(，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)0即可，解得0a3；当x0即可，解得3a9.综上所述可得a的取值范围是0a9.高频滚动1若定义在R上的函数f(x)满足：
15、对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是()Af(x)为奇函数 Bf(x)为偶函数Cf(x)1为奇函数 Df(x)1为偶函数解析：选C法一：根据题意，令x1x20，则f(0)f(0)f(0)1，所以f(0)1.令x1x，x2x，则f(0)f(x)f(x)1，所以f(x)1f(x)10，即f(x)1f(x)1，故f(x)1为奇函数法二：(特殊函数法)由条件f(x1x2)f(x1)f(x2)1可取f(x)x1，而f(x)1x是奇函数2设yf(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于函数yf(x)的三个命题：yf(x)是周期函数；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)在0,1上是增函数其中正确命题的序号是_解析：因偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，令xx1，则f(x)f(x1)，故f(x1)f(x1)，所以f(x)是周期为2的周期函数，正确；又f(1x)f(x1)f(1x)，所以yf(x)的图象关于直线x1对称，正确；又函数f(x)在1,0上是增函数，则f(x)在0,1是减函数，错误答案：