1、第8讲曲线与方程1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点做一做1方程x2xyx表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线解析：选C.方程变为x(xy1)0，则x0或xy10，故方程表示直线x0和直线xy10.
2、2若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案：A1辨明两个易误点(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程做一做3平面上有三个不同点A(2，y)，B(0
3、，)，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_解析：(2，)，(x，)，由，得0，即2x()0，动点C的轨迹方程为y28x(x0)答案：y28x(x0)4设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，则P(2x，2y)，代入双曲线方程得x24y21.答案：x24y21_直接法求轨迹方程(高频考点)_直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：(1)明确给出等式，求轨迹方程；(2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程已知M(4，0)，N(1，0)，若动点
4、P满足6|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x2y120的距离的最小值.扫一扫进入91导学网()曲线与方程解(1)设动点P(x，y)，则(x4，y)，(3，0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化简得3x24y212，即1.点P的轨迹方程是椭圆C：1.(2)设l：x2yD0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y212Dy3(D24)0.144D2192(D24)0D4，l和l的距离的最小值为.点Q与l的距离的最小值为.规律方法直接法求曲线方程的一般步骤：(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数
5、方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性1.(1)已知|AB|2，动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹方程为_(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.求动点P的轨迹方程解析：(1)如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)设P(x，y)，因为|PA|2|PB|，所以2.两边平方，得(x1)2y24(x1)2y2整理，得x2y2x10，即(x)
6、2y2.故动点P的轨迹方程为(x)2y2.答案：(x)2y2(2)解：因为点B与点A(1，1)关于原点O对称所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)_定义法求轨迹方程_(2013高考课标全国卷节选)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
7、所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)规律方法定义法求轨迹方程：(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制2.已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|13，|BC|15，|AB|
8、14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支又c7，a1，b248，故点F的轨迹方程为y21(y1)_利用相关点法(代入法)求轨迹方程_(2015大连市双基测试)已知O为坐标原点，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆1上的点，且x1x22y1y20，设动点P满足2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：yxm(m0)与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值解(1)设点P(x，y)，则由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M，N在椭圆1上，所以x2y4
9、，x2y4.故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)由题意知，x1x22y1y20，所以x22y220.(2)将曲线C与直线l的方程联立得：，消去y得：3x24mx2m2200.因为直线l与曲线C交于A，B两点，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以16m243(2m220)0，又m0，所以0m230，x3x4，x3x4.又点O到直线AB：xym0的距离d，|AB|x3x4|，所以SABO5，当且仅当m230m2，即m215时取等号所以三角形OAB面积的最大值为5.规律方法相关点法求轨迹方程的一般步骤为
10、：(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)，(2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程3.P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析：由，又22，设Q(x，y)，则(x，y)(，)，即P点坐标为(，)，又P在椭圆上，则有1，即1.答案：1方法思想分类讨论思想判断方程所表示的曲线类型已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，1)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m0)求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线解设顶点
11、C(x，y)，由题意，知m，化简得mx2y21(x0)当m1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0，1)，(0，1)两点；当m1时，轨迹E表示以(0，0)为圆心，半径是1的圆，且除去(0，1)，(0，1)两点；当1m0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0，1)，(0，1)两点；当m0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0，1)，(0，1)两点名师点评由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由于m0，而x2与y2的系数相等时m1，故分m1，m1，1m0，m0四种情形进行讨论已知A，B
12、为平面内两定点，过该平面内一动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆B椭圆C抛物线 D双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系(图略)，设M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则N(x，0)因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，是圆的轨迹方程；当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程；当0时，是直线的轨迹方程综上，方程不表示抛物线的方程1若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y40的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28xBy28xCx28y Dx28y解析：选
13、C.点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y40的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0，2)和到直线y20的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x22py(p0)，其中p4，故所求的轨迹方程为x28y.2方程(x2y21)0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()解析：选B.原方程等价于或xy10，前者表示等轴双曲线x2y21位于直线xy10下方的部分，后者为直线xy10，这两部分合起来即为所求3设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：选D.如图，设P(x，
14、y)，圆心为M(1，0)连接MA，则MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.4(2015天津津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(1，3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆C圆 D双曲线解析：选A.设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线，故选A.5(2015长春模拟)设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()
15、A.1 .1C.1 .1解析：选D.M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆a，c1，则b2a2c2，椭圆的方程为1.6(2015广东阳江质检)已知点A(2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)，满足x26，则动点P的轨迹是_解析：动点P(x，y)满足x26，(2x，y)(3x，y)x26，动点P的轨迹方程是y2x，即轨迹为抛物线答案：抛物线7直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_解析：直线1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2a)，设AB的中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.a0且a2，x0且x1.答案：xy1(x
16、0且x1)8(2015山西临汾调研)在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于点D，且|2，则顶点A的轨迹方程为_解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a，c2，b，顶点A的轨迹方程为1(x)答案：1(x)9已知点A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程解：AB5，AB边上高h4.故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线kAB，AB的方程为4x3y40，可设轨迹方程为4x3yc0.由4，得c24或c16，故
17、动点C的轨迹方程为4x3y160或4x3y240.10如图，在平面直角坐标系中，已知PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，0)(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；(2)若动点P1(x1，y1)在曲线C1上，试求动点Q(，)的轨迹C2的方程；(3)过点C(3，0)作直线l与曲线C2相交于M，N两点，试探究是否存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意可得顶点P满足|PA|PB|6，故顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左、右两个顶点椭圆的半焦距长c1，长半轴长a3，所以b2a2c28，故轨迹C1的方程
18、为1(x3)(2)由题意，点P1(x1，y1)在曲线C1上，故1(x13)设x，y，则x13x，y12y.代入1(x13)，得x2y21(x1)，所以动点Q(，)的轨迹C2的方程为x2y21(x1)(3)假设存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点，设M(x2，y2)，x21，则xy1.因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(，)又点N在曲线C2上，所以()2()21.联立，解得x21，y20，与x21矛盾故不存在满足题意的直线l.1(2015湖北武汉月考)已知实数m1，定点A(m，0)，B(m，0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线
19、；(2)若m，问t取何值时，直线l：2xyt0(t0)与曲线C有且只有一个交点解：(1)设S(x，y)，则kSA，kSB.由题意，得，即y21(xm)m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)若m，则曲线C的方程为y21(x)由消去y，得9x28tx2t220.令64t2362(t21)0，得t3.t0，t3.此时直线l与曲线C有且只有一个交点2已知圆C的方程为x2y24.(1)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点
20、为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解：(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，距离为2，满足题意若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20.设圆心到此直线的距离为d，则22，得d1.所以1，解得k，故所求直线方程为3x4y50.综上所述，所求直线l的方程为3x4y50或x1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y00)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)因为，所以(x，y)(x0，2y0)，即x0x，y0.又因为M是圆C上一点，所以xy4，所以x24(y0)，所以Q点的轨迹方程是1(y0)，这说
21、明轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点3(2015湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|，.过点M作MM1y轴于点M1，过点N作NN1x轴于点N1，.记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)(1)求曲线C的方程；(2)是否存在直线l，使得|BP|BQ|，并说明理由解：(1)设点T的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x，y)，则M1的坐标为(0，y)，(x，y)，于是点N的坐标为，N1的坐标为，所以(x，0)，.由，有(x，y)(x，0)，所以由此得xx，yy.由|，得x2y25，所以x25，得1，故曲线C的方程为1.(2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l的斜率存在，并设为k，直线l的方程为yk(x5)由方程组得(5k24)x250k2x125k2200.依题意知20(1680k2)0，得k.当k时，设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为R(x0，y0)，则x1x2，x0.y0k(x05)k.又|BP|BQ|BRlkkBR1，kkBRk120k220k24，而20k220k24不成立，所以不存在直线l，使得|BP|BQ|.