1、专题四立体几何综合题的解答对应学生用书P137考向一三视图与几何体表面积及体积的计算(2012高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B3C.D6【方法分析】题目条件：已知几何体三视图的大小及形状解题目标：求几何体的体积关系探究：由侧视图和俯视图可想象几何体为圆柱，由正视图想象是沿圆柱的一半高度斜截去了一部分()，可补形成整个圆柱【解答过程】将三视图还原为实物图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.【答案】B【回归反思】(1)对于不规则的几何体可采用割补法，使之成为规则的几何体，再计算体积或
2、表面积本题采用了补形法(2)本圆柱所割去的部分是圆柱的，易当作，错误解答(3)此类问题分三步解答：第一步，定形，即由几何体的三视图确定几何体的形状及其结构特征；第二步，定量，即由三视图中的数据确定几何体的几何度量；第三步，计算，即把相应数据代入柱、锥、台、球等几何体的体积、表面积公式，计算结果考向二空间点、线、面的综合关系及应用(2013高考安徽卷)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积【方法分析】题目条件：四棱锥PABCD，底面ABBCCDDA，BAD60，ADC120，PD
3、PB，E是PA的中点解题目标：(1)异面直线PCBD.(2)求VPBCE.关系探究：(1)连接AC，与BD交于点O，由PBPD以及底面为菱形的条件，线面垂直的判定定理可证BD平面APC，从而可证；(2)利用四面体的等积变换，转化为以B为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥PBCE的体积是三棱锥BAPC的体积的一半，代入公式计算【解答过程】(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.又因为POACO，所以BD平面APC，因此BDPC.(2)因为E是PA的中点，所以V三棱锥PBCEV三棱锥CPEBV三棱锥CPABV三棱锥BAPC.由
4、PBPDABAD2知，ABDPBD.因为BAD60，所以POAO，AC2，BO1.又PA，所以PO2AO2PA2，所以POAC，故SAPCPOAC3.由(1)知，BO平面APC，因此V三棱锥PBCEV三棱锥BAPCBOSAPC.【回归反思】(1)证明线线垂直，一般采用线面垂直的性质，而证明线面垂直，又要利用线线垂直或线面垂直(2)求三棱锥的体积常进行等积转化，即转化为底面积或高易求的三棱锥，如本题中VPBCEVBPCEVBAPC.考向三线面位置关系的存在性探究(2012高考北京卷)如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1
5、DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由【方法分析】题目条件：平面图形RtACB，C90，DECB，翻折后成四棱锥A1BCDE，BCDE为直角梯形，A1FDC(有平行关系、有垂直关系)解题目标：(1)DE面A1CB(线面平行)(2)A1FBE(线线垂直)(3)探究点QA1B.关系探究：图(1)图(2)DEBCDE面 A1CB图(1)图(2)DE面A1DCA1F面CBEDA1FBE.取A1C中点P，AB中点QA1C面DEQP.【解答过程】(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以
6、DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.来源:学科网所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD.所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.来源:Zxxk.Com由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，来源:学科网ZXXK所以A1CDP.所以A1C平面
7、DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.【回归反思】(1)平面图形翻折到立体图形，位于折线同一侧的平面中的位置关系及度量不变：如本题图(2)中仍有BCDE，DEBC，BCDC，DEDC.(2)存在性问题，可以先假设特殊的位置(元素)就是所求，然后证明这个位置(元素)是否适合题意，同时要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的平行(垂直)，都可互相转化证明线面平行与垂直关系的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线和辅助面时一定要以相关性质、定理为依据，绝不能主观臆断考向四空间向量与空间角的计算(2013高考湖北卷)如图，AB是圆O的直径，点C
8、是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sin sin sin .【方法分析】题目条件：三棱锥PABC，底面ACBC，PC面ABC，面BEF面ABCl，l交O于D，PQ与面ABC的角为.异面直线PQ与EF的角为，ElC的角为.解题目标：(1)判断l与面PAC的关系(2)证明、的正弦值的关系关系探究：(1)EFACEF面ABC
9、EFll面PAC.(2)建系，用向量分别计算sin ，sin 及sin .【解答过程】(1)直线l平面PAC.证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l平面PAC.(2)(向量法)：如图，由，作DQCP，且DQCP.连接PQ，EF，BE，BF，BD.由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CAa，CBb，CP2c，则有C(0,0,0)，A(a,
10、0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(0,0，c)于是，(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos ，从而sin .取平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)，可得sin .来源:学科网设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)由，可得取n(0，c，b)于是|cos |，从而sin .故sin sin sin ，即sin sin sin .对应学生用书P1391(2013高考山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C. D.解析：选B.画出三
11、棱柱ABCA1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角来源:学科网如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tanPAO，PAO.2(2013高考全国新课标卷)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解V四棱锥OABCDh，得h，OA2h226.S球4OA224.答案：243(2013高考
12、湖北卷)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：求出水面的半径，根据圆台的体积公式求出雨水的体积，除以盆口面积即得圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，降水量为3(寸)答案：34(2013高考北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证
13、：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解析：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且.所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.