1、第5讲椭圆1椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0)轴长
2、轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2做一做1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1 D.1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.2(2015浙江省名校联考)已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则F1AB的周长为_解析：由已知可得F1AB的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.答案：81辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a|
3、F1F2|这一条件，当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|时，不存在轨迹(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)2求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)做一做3若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21 B.1C.y21或1 D以上答案都不对解析：选
4、C.直线与坐标轴的交点为(0，1)，(2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，a25，所求椭圆标准方程为1.故选C.4(2015江苏常州调研)若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得，解得3kb0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析(1)依题意，设椭圆方程为1(ab0)，则有，由此解得a220，b25，因此所求的椭圆方程是1.(2)由e，得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入得c1，b2
5、a2c22，故C的方程为1.答案(1)C(2)A规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设出方程(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求1.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_；(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_解析：(1)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)椭圆经过P1，
6、P2两点，P1，P2点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得所求椭圆方程为1.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，SPF1F2r1r2b29，b3.答案：(1)1(2)3_椭圆的几何性质(高频考点)_椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2)由性质写椭圆方程；(3)求离心率的值或范围(1)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5
7、，0)(2)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21(3)(2014高考江西卷)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.扫一扫进入91导学网()椭圆及其几何性质解析(1)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3，0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5，0)(2)若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.(3)直线AB：xc，代入1，得y.A，B.kBF1.直线BF1：y0(xc)令x0
8、，则y，D，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.答案(1)D(2)C(3)若本例(3)条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部(图略)，所以cb，从而c2b2，即c2a2c2，()2，0，故e(0，)规律方法(1)求椭圆的离心率问题的一般思路：求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围(2)利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质
9、有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系2.(1)已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.1B.1或1C.1 D.1或1(2)设e是椭圆1的离心率，且e(，1)，则实数k的取值范围是()A(0，3) B(3，)C(0，3)(，) D(0，2)(3)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1，B2，焦点为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于()A. B.C. D.(4) (2015安徽合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则
10、的最大值为_解析：(1)a4，e，c3.b2a2c21697.椭圆的标准方程是1或1.(2)当4k时，e(，1)，即114k4，即0k3；当4k时，e(，1)，即1110k.(3) 如图所示，由于四边形B1F1B2F2是正方形，则OB1F2是等腰直角三角形法一：由于|OF2|c，|B1F2|a，OF2B145，所以椭圆的离心率ecosOF2B1cos 45.法二：由于|OB1|OF2|，所以bc，所以b2c2，所以a2b2a2c2c2，所以a22c2，所以e.(4)设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.2x02，y0.F(1，0)，A(2，0)，
11、(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.即当x02时，取得最大值4.答案：(1)B(2)C(3)A(4)4_直线与椭圆的位置关系_(2014高考陕西卷) 已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0) (1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1，得|m|.(*)|CD|22 .设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2
12、mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB| .由，得 1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.规律方法(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于x(或y)的一元二次方程；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)3. 如图，点F1(c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q. (1)如
13、果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解：(1)法一：由条件知，P，故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为yx，故Q.由题设知，4，2a4，解得a2，c1.故椭圆C的方程为1.法二：设直线x与x轴交于点M.由条件知，P.因为PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故椭圆C的方程为1.(2)证明：直线PQ的方程为，即yxa.将上式代入1，得x22cxc20，解得xc，y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点方法思想数形结合思想在椭圆求值中的应用(2014高考辽宁卷)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M
14、关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_. 解析椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.答案12名师点评(1)本题利用了数形结合的思想，把DF1和DF2分别看作MAN和MNB的中位线，再结合椭圆定义即可求解(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化1. (2015北京东城区统一检测)如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点恰好是椭圆1(ab0)的右焦点F，且这两条曲线交点的
15、连线过点F，则该椭圆的离心率为_解析：如图，设F为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF，所以|FF|2cp，因为|AF|p，所以|AF|p.因为|AF|AF|2a，所以2app，所以e1.答案：12设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_解析：如图，|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.答案：151已知方程1表示焦点在
16、y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(，2)B(1，)C(1，2) D(，1)解析：选C.由题意可得，2k12k0，即解得1k2.2矩形ABCD中，|AB|4，|BC|3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A2B2C4 D4解析：选D.依题意得|AC|5，所以椭圆的焦距为2c|AB|4，长轴长2a|AC|BC|8，所以短轴长为2b224.3(2015烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2
17、，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26.4(2015豫西五校联考)已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1 B.C. D.解析：选D.由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则3.所以b23，即b.5(2015内蒙古包头调研)椭圆1上有两个动点P、Q，E(3，0)，EPE
18、Q，则的最小值为()A6 B3C9 D126解析：选A.设P点坐标为(m，n)，则1，所以|PE|，因为6m6，所以|PE|的最小值为，所以()2|2，所以的最小值为6.6椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为_解析：由题意知解得椭圆方程为1或 1.答案：1或 17(2015福州质检)若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：不妨设椭圆的方程为1(ab0)，则由题意知，2a2c22b，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，解得e或e1(舍去)答案
19、：8(2015宜昌调研)过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y2x2.联立，解得交点A(0，2)，B(，)，SOAB|OF|yAyB|1|2|.答案：9(2014高考课标全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解
20、得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1)由已知得c2，e.解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由，得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2
21、)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3，2)到直线l：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.1(2015山西省第三次四校联考)已知圆锥曲线mx24y24m的离心率e为方程2x25x20的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A4 B3C2 D1解析：选B.e是方程2x25x20的根，e2或e.mx24y24m可化为1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有，m3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有，m；当它表示焦点
22、在x轴上的双曲线时，可化为1，有2，m12.满足条件的圆锥曲线有3个2已知椭圆1(ab0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A. 如图所示，设线段PF1与圆切于点M，则|OM|b，|OF1|c，故|MF1|，所以|PF1|2|MF1|2.又O为F1F2的中点，M为PF1的中点，所以|PF2|2|OM|2b.由椭圆的定义，得22b2a，即ab，即a，即1，两边平方，整理得3e232，再次平方，整理得9e414e250，解得e2或e21(舍去)，故e.3(2015贵
23、阳模拟)已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_解析：由题意可得a10，b8，c6.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a20，在RtPF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2144，2，得2|PF1|PF2|400144256，|PF1|PF2|128，SF1PF2|PF1|PF2|12864.答案：644(2014高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_解析：设点B的坐标为(x0，y0)x21，F1
24、(，0)，F2(，0)AF2x轴，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0 ，y0.点B的坐标为.将B代入x21，得b2.椭圆E的方程为x2y21.答案：x2y215(2015山西省第二次四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0，1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解：(1)设椭圆方程为1(ab0)因为c1，e，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由，得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(
25、x2，y2)，则由2，得x12x2.又，所以，消去x2得()2.解得k2，k.所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.6(选做题)(2014高考北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解：(1)由题意得，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x，圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d .又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切
