1、吉林省通榆县一中2021届高三数学上学期期中试题 文考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4. 本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、复数、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、立体几何.一、选择题：本题共12小题，
2、每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ）A. ， B. ，C. ，D. ，4. 在巴比伦晚期的泥板文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）A. 两B. 两C. 两D. 两5. 若函数的图象关于点对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 已知等比数列中，公比，则（ ）A. -27B. 27C. D
3、. 7. 已知数列是等差数列，其前项和为，若，则（ ）A. 16B. -16C. 4D. -48. 在中，角，的对边分别为，若，点是的重心，且，则的面积为（ ）A. B. C. 或D. 或9. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减10. 如图，在三棱柱中，底面，为等边三角形，分别为，的中点，是线段上的一点，则直线与直线的位置关系可能是（ ）相交 垂直 异面 平行A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，则（ ）A. B. 1C. D. 212. 设等差数列
4、的前项和为，且，若恒成立，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则_.14. 已知等差数列的前项和为，若，则_.15. 若，则_.16. 已知半径为4的球面上有两点，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为，则四面体的体积的最大值为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形且，平面平面，且是正三角形，是的中点.（1）证明：平面；（
5、2）求点到平面的距离.19. 已知中，角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.20. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.21. 已知在等差数列中，其前8项和.（1）求数列的通项公式（2）设数列满足，求的前项和.22. 设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.通榆一中高三期中考试试题数学（文科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5：DCACA6-10：BADDB11-12：BA1. D 由题意，得.故选D.2. C .故选C.3. A 根据全称命题与存在性命题
6、的关系，可得命题“，”的否定为：“，”.故选A.4. C 设10个兄弟由大到小依次分得两银子，设数列的公差为，其前项和为，则由题意得，即，解得.所以长兄分得两银子.故选C.5. A ，由其图象关于点对称，得，即，所以的最小值是，故选A.6. B .故选B.7. A 由.故选A.8. D 由题可知，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，所以的面积为；当时，所以的面积为.9. D 函数的定义域为，即，所以是偶函数.当时，为减函数，为增函数，所以在上单调递减.故选D.10. B 当点与点重合时，直线与直线相交，连接，由题意，可得，在中，同理，所以，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以
7、，当点不与点重合时，直线与直线异面.故选B.11. B 取向量，作为一组基底，则有，.因为向量与共线，所以，即.故选B.12. A 因为，所以，得，即.由，知，即，所以，所以，所以，所以，所以.故的最小值为1.故选A.二、填空题13. -6 14. 9 15. 16. 613. -6 在因为，所以，解得.14. 9 等差数列中，即，所以，所以.15. 因为，所以.因为，所以，所以.16. 6 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，则为与所在截面所成角，即，得，由，所以，同理.因为，所以.在中，得，因为四面体的体积为，连接，当过时，且最大，所以四面体的体积的最大值.三、解答题17. 解：（1）由，
8、得；由，成等比数列，得，即，解得，即.（2）由（1）得，则，即.18.（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为平面为矩形且，所以.所以.所以.所以，即.又因为，平面，所以平面.（2）解：因为，侧面是正三角形，是的中点，所以.所以由勾股定理得，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.19. 解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以的面积，得.由余弦定理得.又因为，所以，解得，所以的周长为.20. 证明：（1）取的中点为，分别连接，.又为线段的中点，且.，据三棱柱的性
9、质知，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.解：（2）据题设知，.又，三棱锥的体积.21. 解：（1）由，由，得，联立，解得，故.（2），所以，由一，得，所以.22. 解：（1）当时，.令，得或（舍）.所以在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极小值，极小值为.（2）函数的定义域为，令，则，所以当时，；当时，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当，的最小值为，即有唯一的零点；当时，的最小值为，且，即不存在零点；当时，的最小值，又，所以函数在上有唯一的零点，又当时，令，则，解得，可知在上递减，在上递增，所以，所以，所以函数在上有唯一的零点.所以当时，有2个不同的零点.综上所述，实数的取值范围是.