1、2014-2015学年山东省青岛十九中高三（上）10月段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知全集U=y|y=log2x，x1，集合P=y|y=，x3，则UP等于（） A ） B （0，） C （0，+） D （，0，+）2设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（） A B C D 103已知函数f（x）的零点为（） A B 2，0 C D 04将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（） A y=cos2x B C y=2cos2x D y=2sin2x5已知实数x，y满足axa
2、y（0a1），则下列关系式恒成立的是（） A B ln（x2+1）ln（y2+1） C sinxsiny D x3y36设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0），x0，的图象大致为（） A B C D 7已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（） A 5 B 4 C D 28在ABC中，AB=4，ABC=30，D是边BC上的一点，且，则的值等于（） A 2 B 4 C 6 D 89在等差数列an中，a1=2014，其前n项和为Sn，若=2，则S201
3、4的值为（） A 2011 B 2012 C 2013 D 201410设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（） A （，6）（6，+） B （，4）（4，+） C （，2）（2，+） D （，1）（1，+）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积为12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20=13已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为14若不等式|
4、2x1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是15如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB=15m，AC=25m，BCM=30，则tan的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知O为坐标原点，向量，点P满足（）记函数，求函数f（）的最小正周期；（）若O，P，C三点共线，求的值17已知函数的最大值为2且是相邻的两对称轴方程（1）求
5、函数f（x）在0，上的值域；（2）ABC中，f（A）+f（B）=4sinAsinB，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60，c=3，求ABC的面积18数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，nN*），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn19设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围20已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn21设函数f（x）=l
6、nx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围2014-2015学年山东省青岛十九中高三（上）10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知全集U=y|y=log2x，x1，集合P=y|y=，x3，则UP等于（） A ） B （0，） C （0，+） D （，0，+）考点： 对数函数的值域与最值；补集及其运算专题： 计算题分析： 由y=log2x，x1可得y|y0，由y=可得0，从而可求解答： 解：由题意可得U=y|y=log2x
7、，x1=y|y0P=y|y=y|0则CuP=故选A点评： 本题主要考查了对数函数与反比例函数的值域的求解，集合的补集的求解，属于基础试题2设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（） A B C D 10考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 计算题分析： 由两个向量垂直的性质可得2x4=0，由两个向量共线的性质可得42y=0，由此求出 x=2，y=2，以及的坐标，从而求得|的值解答： 解：向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则有2x4=0，42y=0，解得 x=2，y=2，故=（3，1 ）故有|=，故
8、选B点评： 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题3已知函数f（x）的零点为（） A B 2，0 C D 0考点： 函数的零点专题： 计算题分析： 根据分段函数分段处理的原则，我们分x1和x1两种情况解方程f（x）=0，最后综合讨论结果，可得答案解答： 解：函数当x1时，令f（x）=2x1=0，解得x=0当x1时，令f（x）=1+log2x=0，解得x=（舍去）综上函数的零点为0故选D点评： 本题考查的知识点是函数的零点，其中分段函数分段处理是解答分类函数相关问题常用的思路4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的
9、函数解析式是（） A y=cos2x B C y=2cos2x D y=2sin2x考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： 首先根据函数图象的平移变换求出函数的解析式，进一步利用函数关系式的恒等变形求出结果解答： 解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到：f（x）=sin2（x+）=cos2x再把函数的图象向上平移1个单位，得到：g（x）=cos2x+1=2cos2x故选：C点评： 本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数关系式的恒等变换，属于基础题型5已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（） A B l
10、n（x2+1）ln（y2+1） C sinxsiny D x3y3考点： 指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质专题： 函数的性质及应用分析： 本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键解答： 解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A若x=1，y=1时，满足xy，但=，故不成立B若x=1，y=1时，满足xy，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）ln（y2+1）不成立C当x=，y=0时，满足xy，此时sinx=sin=0，siny=sin0=0，有sinxsiny，但sinxsiny不成立D函数y=x3为增函数，故当xy时，x3y3
11、，恒成立，故选：D点评： 本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键6设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0），x0，的图象大致为（） A B C D 考点： 导数的运算；函数的图象专题： 数形结合分析： 先根据导数的几何意义写出g（x）的表达式再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断解答： 解：由题意，得g（x）=xcosx，因为g（x）=g（x）所以它是奇函数k=g（x0）=y（x0）=x0cosx0，注意到g（x）为奇函数，故其图象关于原点中心对称排除B，C又当0x1时，cosx
12、0，xcosx0，知D项不符合，故选A点评： 对于这样的图象信息题，要根据选项，找出区分度，如图象的对称性，单调性，函数值的特征等，再逐一判断在选择题的作答中，排除法一直是切实有效的方法之一，特别是这样的图象题，优势尤为明显7已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（） A 5 B 4 C D 2考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离
13、公式得答案解答： 解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a+b2=0则a2+b2的最小值为故选：B点评： 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题8在ABC中，AB=4，ABC=30，D是边BC上的一点，且，则的值等于（） A 2 B 4 C 6 D 8考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 由已知和向量垂直的条件可得ADBC，再由数量积的定义，即可得到所求值解答： 解：由于，则
14、即有ADBC，=|cosA=|2=22=4故选B点评： 本题考查平面向量的运用，考查向量的垂直的条件，考查数量积的定义和运算，属于中档题9在等差数列an中，a1=2014，其前n项和为Sn，若=2，则S2014的值为（） A 2011 B 2012 C 2013 D 2014考点： 等差数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式及=2可求得公差d，再用求和公式可得答案解答： 解：设等差数列的公差为d，=2，=2，a12a10=4，2d=4，得d=2，a1=2014，S2014=20142014+2=2014，故选：D点评： 本题考查等差数列
15、的求和公式，属基础题，熟记等差数列的求和公式是解决该题的关键10设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（） A （，6）（6，+） B （，4）（4，+） C （，2）（2，+） D （，1）（1，+）考点： 正弦函数的定义域和值域专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得，f（x0）=，且 =k+，kz，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 m2+3，由此求得m的取值范围解答： 解：由题意可得，f（x0）=，且 =k+，kz，即 x0=m再由x02+f（x0）2m2，可得当m2最小时，|x0|最
16、小，而|x0|最小为|m|，m2 m2+3，m24 求得 m2，或m2，故选：C点评： 本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积为考点： 定积分专题： 计算题分析： 求曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积即求S=即可解答： 解：如图所示：阴影部分的面积可以看做以下定积分S=点评： 利用定积分求面积是求面积的通法，应熟练掌握12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20=50考点： 等比数
17、列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案解答： 解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，a10a11=e5，lna1+lna2+lna20=ln（a1a2a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50故答案为：50点评： 本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题13已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为2，
18、3考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可解答： 解：曲线C：x=，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP2，0，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，m=2，3故答案为：2，3点评： 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想14若不等式|2x1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是1，考点： 绝对值不等式的解法专题： 选作题；不等式分析： 利用绝对值的几何意义，确定|2x1|+|x+2|
19、的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可解答： 解：|2x1|+|x+2|=，x=时，|2x1|+|x+2|的最小值为，不等式|2x1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立，a2+a+2，a2+a0，1a，实数a的取值范围是1，故答案为：1，点评： 本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题15如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB=15m，AC=25m，BCM=30，则tan的最大值是（仰角为
20、直线AP与平面ABC所成角）考点： 在实际问题中建立三角函数模型；解三角形专题： 解三角形分析： 过P作PPBC，交BC于P，连接AP，则tan=，求出PP，AP，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论解答： 解：AB=15m，AC=25m，ABC=90，BC=20m，过P作PPBC，交BC于P，连接AP，则tan=，设BP=x，则CP=20x，由BCM=30，得PP=CPtan30=（20x），在直角ABP中，AP=，tan=，令y=，则函数在x0，20单调递减，x=0时，取得最大值为=若P在CB的延长线上，PP=CPtan30=（20+x），在直角ABP中，AP=，tan=，令y=，则y=
21、0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知O为坐标原点，向量，点P满足（）记函数，求函数f（）的最小正周期；（）若O，P，C三点共线，求的值考点： 两角和与差的正弦函数；向量的模；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法专题： 平面向量及应用分析： （）设，由向量的坐标运算求出、和的坐标，由和向量相等的充要条件求出x和y，求出的坐标，由向量的数量积运算和三角公式化简，再由周期公式求出；（）根据条件得，
22、代入向量共线的坐标条件，由商的关系求出tan，再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2用tan表示出来并求值，再求出的值解答： 解：（），设，则，由得，故，则，f（）=（sincos，1）（2sin，1）=2sin22sincos1=（sin2+cos2）=f（）的最小正周期T=（）由O，P，C三点共线可得：则（1）（sin）=2（2cossin），解得，=点评： 本题是向量与三角函数的综合题，考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件，三角恒等变换中公式，涉及的公式多，需要熟练掌握并会灵活运用17已知函数的最大值为2且是相邻的两对称轴方程（1）求函数f（x）在0，上的值域；（
23、2）ABC中，f（A）+f（B）=4sinAsinB，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60，c=3，求ABC的面积考点： 两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理专题： 计算题；解三角形分析： （1）依题意，可求得m=，=1，继而可求得f（x）的解析式，由0xx+x+1，从而可求函数f（x）在0，上的值域；（2）利用正弦定理可求得a+b=ab再由余弦定理，得a2+b2ab=9，二者联立可求得ab，从而可求得ABC的面积解答： 解：（1）f（x）=sin（x+），f（x）的最大值为，=2，又m0，m=，f（x）=2sin（x+），x=，x=是相邻的两对称轴方程T=2=，=1，f（x）
24、=2sin（x+），0x，x+，x+1f（x）的值域为，2（2）设ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R=2化简f（A）+f（B）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理，得2R（a+b）=2ab，a+b=ab由余弦定理，得a2+b2ab=9，即（a+b）23ab9=0将式代入，得2（ab）23ab9=0解得ab=3，或ab=（舍去）SABC=absinC=点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，考查辅助角公式的应用，着重考查正弦函数的图象与性质，考查正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题18数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，nN*
25、），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列递推式；数列的求和；等比数列的性质专题： 计算题分析： （1）由已知可得，（2+c）2=2（2+3c）可求c，代入可得an+1=an+2n，利用叠加可求通项（2）由bn=，考虑利用错位相减可求和解答： 解：（1）由已知可知a2=2+c，a3=2+3c（1分）则（2+c）2=2（2+3c）c=2从而有an+1=an+2n（2分）当n2时，an=a1+（a2a1）+a3a2+（anan1）=2+21+22+2n=n2n+2（4分）当n=1时，a1=2适合上式，因而an=n2n+2（5分）
26、（2）bn=（6分）Tn=b1+b2+bn=相减可得，=（9分）（10分）点评： 本题主要考查了利用叠加法求解数列的通项公式，而错位相减求解数列的和是数列求和的重点和难点，要注意掌握19设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围考点： 绝对值不等式的解法专题： 不等式的解法及应用分析： （）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（）由f（3）=|3+|+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求解答： 解：（）证明：a0，f（x）=|x+
27、|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当a3时，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a当0a3时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3综上可得，a的取值范围（，）点评： 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题20已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列的求和；数列的函数特性；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （）利用等差数列与等比
28、数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（）由（）可得bn=对n分类讨论“裂项求和”即可得出解答： 解：（）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n1=Tn=+当n为偶数时，Tn=+=1=当n为奇数时，Tn=+=1+=Tn=点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题21设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x
29、）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点专题： 压轴题；导数的综合应用分析： （）m=e时，f（x）=lnx+，利用f（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（）由函数g（x）=f（x），令g（x）=0，求出m；设（x）=m，求出（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（）由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m的取值范围解答： 解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，f（x）=；
30、当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（）函数g（x）=f（x）=（x0），令g（x）=0，得m=x3+x（x0）；设（x）=x3+x（x0），（x）=x2+1=（x1）（x+1）；当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1是（x）的极值点，且是极大值点，x=1是（x）的最大值点，（x）的最大值为（1）=；又（0）=0，结合y=（x）的图象，如图；可知：当m时，函数g（x）无零
31、点；当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；当m0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m时，函数g（x）无零点；当m=或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）点评： 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题
