1、高考资源网（） 您身边的高考专家天津市和平区2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，复数z满足z（2i）=10+5i，则z等于( )A3+4iB34iC3+4iD34i2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为( )A1B3C11D123阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S的值为( )A26B56C57D1204“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+）上单调递增”是“a1”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5设F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左
2、、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则该双曲线的渐近线方程为( )Ay=xBy=xCy=xDy=x6设minp，q表示p，q中较小的一个，给出下列命题：minx2，x1=x1；设，则min；设a，bN*，则min的最大值是1，其中所有正确命题的序号有( )ABCD7如图，AD切圆O于D点，圆O的割线ABC过O点，BC交DE于F点，若BO=2，AD=2则给出的下列结论中，错误的是( )AAB=2B=CE=30DEBDCDB8已知x1、x2是函数f（x）=|lnx|ex的两个零点，则x1x2所在区间是( )A（0，）B（，1）C（1，2）D（2
3、，e）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9某校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人用分层抽样的方法共抽取40人，则抽取音乐特长生的人数为_10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于_cm311函数（xR）的最小正周期为_12已知过点（1，1）的直线与圆x2+y24x6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_13不等式1|2x1|3的解集为_14如图，在等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，其中01，若=0，则的值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15一个袋中
4、装有5个形状大小完全相同的围棋子，其中3个黑子，2个白子（）从袋中随机取出两个棋子，求取出的两个棋子颜色相同的概率；（）从袋中随机取出一个棋子，将棋子放回后再从袋中随机取出一个棋子，求两次取出的棋子中至少有一个白子的概率16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角A的大小；（）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，PAPB，BP=BC，E为PC的中点（）求证：PA平面BDE；（）求证：BE平面PAC；（）若AB=2BC，求二面角ABCE的大小18数列an的前n项和记为Sn，a1=2，an+1=S
5、n+n（）求an的通项公式；（）正项等差数列bn的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+成等比数列（）求bn的通项公式；（）试确定与的大小关系，并给出证明19已知点是离心率为的椭圆=1（ab0）上的一点，斜率为的直线BC交椭圆于B、C两点，且B、C与A点均不重合（）求椭圆的方程；（）ABC的面积是否存在着最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求直线AB与直线AC斜率的比值20已知函数f（x）=bx，g（x）=lnxf（x）（）若f（2）=2，讨论函数g（x）的单调性；（）若f（x）是关于x的一次函数，且函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，求实数
6、b的取值范围；（）在（）的条件下，求证：x1x2e2天津市和平区2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，复数z满足z（2i）=10+5i，则z等于( )A3+4iB34iC3+4iD34i考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：直接计算即可解答：解：z（2i）=10+5i，z=3+4i，故选：A点评：本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为( )A1B3C11D12考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式
7、组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z经过点A时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（3，2），代入目标函数z=3x+y得z=33+2=11即目标函数z=3x+y的最大值为11故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S的值为( )A26B56C57D120考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，
8、依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时满足条件k4，退出循环，输出S的值为57解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1k=2，S=4不满足条件k4，k=3，S=11不满足条件k4，k=4，S=26不满足条件k4，k=5，S=57满足条件k4，退出循环，输出S的值为57故选：C点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基础题4“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+）上单调递增”是“a1”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：先根据复合
9、函数的单调性得到a0，再判断“a0“是“a1“的什么条件即可解答：解：设t=ax+1，函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+）上单调递增，t=ax+1在（0，+）上单调递增，a0，由a0，不能推出a1，但是由a1能推出a0，“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+）上单调递增”是“a1”的必要不充分条件故选：B点评：本题考查复合函数的单调性，充分条件、必要条件的定义，属于基础题5设F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则该双曲线的渐近线方程为( )Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简
10、单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|=2a，两边平方，再由条件，即可得到a，b的关系，即可求得双曲线的渐近线方程解答：解：由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|=2a，由|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则有（|PF1|+|PF2|）24|PF1|PF2|=9b29ab=4a2，即有（3b4a）（3b+a）=0，即有3b=4a，所以该双曲线的渐近线方程为y=x故选：A点评：本题考查双曲线的定义和性质：双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题6设minp，q表示p，q中较小的一个，给出下列命题：minx2，x1=x
11、1；设，则min；设a，bN*，则min的最大值是1，其中所有正确命题的序号有( )ABCD考点：命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：作差：x2（x1）=0，即可得出minx2，x1，进而判断出正误；由，可得sin（0，1，作差=0，即可判断出正误；设a，bN*，由=1，a1，即可判断出正误解答：解：x2（x1）=0，x2x1，minx2，x1=x1，正确；，sin（0，1，=0，则min=，因此不正确；设a，bN*，=1，a1可得：min的最大值是1，正确故选：D点评：本题考查了新定义、“作差法”比较数的大小、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计
12、算能力，属于中档题7如图，AD切圆O于D点，圆O的割线ABC过O点，BC交DE于F点，若BO=2，AD=2则给出的下列结论中，错误的是( )AAB=2B=CE=30DEBDCDB考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；推理和证明分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：由切割线定理可得AD2=ABAC，即12=AB（AB+4），所以AB=2，故A正确；由相交弦定理可得BFCF=DFEF，故可得B正确；由ABDADC，可得，因为BC=4，所以DC=23，所以C=30，所以E=30，故C正确；EBD、CDB中只有一对角相等，不可推出EBDCDB，故不正确故选：D点评：本题考查切割线定理、
13、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8已知x1、x2是函数f（x）=|lnx|ex的两个零点，则x1x2所在区间是( )A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，e）考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：能够分析出f（x）的零点便是函数|lnx|和函数ex交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象可看出，这样即可得出1lnx1x20，根据对数函数的单调性即可求出解答：解：令f（x）=0，|lnx|=ex；函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数|lnx|和函数ex的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出0lnx11，1lnx10，0lnx21；1lnx1+lnx21
14、；1lnx1x21；由图还可看出，lnx1lnx2；lnx1x20，x1x21；x1x2的范围是（）故选B点评：考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9某校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人用分层抽样的方法共抽取40人，则抽取音乐特长生的人数为16考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人用分层抽样的方法
15、共抽取40人，抽取音乐特长生的人数为=人，故答案为：16点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于10cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，挖去一个三棱柱和一个三棱锥后所得的组合体，分别求出长方体，三棱柱和三棱锥的体积，相减可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个长方体，挖去一个三棱柱和一个三棱锥后所得的组合体，长方体的体积为：322=12cm3，三棱柱的体积为：3（11）=cm3，三棱锥的体积为：3（11）=
16、cm3，故组合体的体积V=12=10cm3，故答案为：10点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11函数（xR）的最小正周期为4考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用y=Asin（x+）的周期等于 T=，求得结果解答：解：函数（xR）的最小正周期为=4，故答案为：4点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（x+）的周期等于 T=，属于基础题12已知过点（1，1）的直线与圆x2+y24x6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为4考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题；直线与圆分析：把圆
17、的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|AB|的最小值解答：解：圆x2+y24x6y+4=0 即 （x2）2+（y3）2=9，表示以C（2，3）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大而弦心距d的最大值为=，|AB|的最小值为2=4，故答案为：4点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题13不等式1|2x1|3的解集为x|1x0或1x2考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得12x13 或32x11，由此求得x的范围解答：解：由不等式1|2x1|3，可得12x13 或32x11，求得1x2，或
18、1x0，故不等式的解集为x|1x0或1x2，故答案为：x|1x0或1x2点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题14如图，在等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，其中01，若=0，则的值为考点：向量在几何中的应用 专题：综合题；平面向量及应用分析：将表示为+，利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于的方程并解出即可注意01解答：解：设等边三角形ABC的边长为1则|=，|=1（01），由=0，可得+（+）=0（1）cos180+11cos60+1cos180=0化简+=（1），整理22+=0，解得=（=1舍去）故答案为：点评：本题考查向量数量积的运算，平
19、面向量基本定理，关键是将表示为+，进行转化，以便应用向量数量积公式计算化简三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15一个袋中装有5个形状大小完全相同的围棋子，其中3个黑子，2个白子（）从袋中随机取出两个棋子，求取出的两个棋子颜色相同的概率；（）从袋中随机取出一个棋子，将棋子放回后再从袋中随机取出一个棋子，求两次取出的棋子中至少有一个白子的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（）先计算从袋中随机取出两个棋子的情况总数，再求出取出的两个棋子颜色相同的情况总数，代入古典概型概率计算公式，可得答案（）先计算从袋中有放回的取出两个
20、棋子的情况总数，再求出两次取出的棋子中至少有一个白子的情况总数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：（）3个黑子记为A1，A2，A3，2个白子记为B1，B2从袋中随机取出两个棋子，所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10种（2 分）用M表示“取出的两个棋子颜色相同”，其所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，B1，B2，共4种（4 分）（6 分）（）从袋中随机取出一个棋子，将棋子放回后再从袋中随机取出一个棋子，其所有可能的结果有：（A1，A1），（A1，A2），（A1，
21、A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A1），（A2，A2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A1），（A3，A2），（A3，A3），（A3，B1），（A3，B2），（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B1，B1），（B1，B2），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B2，B1），（B2，B2），共25种（9 分）用N表示“两次取出的棋子中至少有一个白子”，其所有可能的结果有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B1，B1），
22、（B1，B2），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B2，B1），（B2，B2），共16种点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角A的大小；（）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出解答：解：（1）由正弦定理余弦定理得=，2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，sinC0，A（0，），（2）由sin
23、C=2sinB，得c=2b，由条件a=3，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=3b2，解得点评：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，PAPB，BP=BC，E为PC的中点（）求证：PA平面BDE；（）求证：BE平面PAC；（）若AB=2BC，求二面角ABCE的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）设ACBD=O，连接OE证明OEPA，利用直线与平面
24、平行的判定定理证明PA平面BDE（）通过证明BC平面PAB，然后证明PABEBEPC留言在线与平面垂直的判定定理证明BE平面PAC（）说明ABP即为二面角ABCE的平面角，通过求解三角形即可得到二面角的大小解答：（本题13分）（文科）（）证明：设ACBD=O，连接OE（1 分）底面ABCD为矩形，O为AC的中点E为PC的中点，OEPA（3 分）PA平面BDE，OE平面BDE，PA平面BDE（4 分）（）证明：平面PAB平面ABCD，BCAB，平面PAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD，BC平面PAB（5 分）PA平面PAB，BCPA（6 分）PAPB，BCPB=B，PA平面PBC（7 分）
25、BE平面PBC，PABE（8 分）BP=BC，E为PC的中点，BEPC（9 分）PAPC=P，BE平面PAC（）解：由（）可知BC平面PAB，故ABP即为二面角ABCE的平面角在RtAPB中，APB=90，AB=2BC=2BP，BAP=30，ABP=60二面角ABCE为60点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力，以及计算能力18数列an的前n项和记为Sn，a1=2，an+1=Sn+n（）求an的通项公式；（）正项等差数列bn的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+成等比数列（）求bn的通项公式；（）试确定
26、与的大小关系，并给出证明考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用an+1=Sn+n，得到an+1an=SnSn1+1=an+1，推出an+1的数列特征，然后求解an的通项公式（）（）利用数列的和，结合等差数列即可求出bn的通项公式bn=b1+（n1）d=n+1（）通过数列的通项公式，利用放缩法以及列项求和，推出结果即解答：（本题13分）（）解：由an+1=Sn+n，得an=Sn1+（n1）（n1），（1 分）两式相减，得an+1an=SnSn1+1=an+1，an+1=2an+1，即an+1+1=2（an+1）（n1）（2 分）a1=2，a2=S1+1=a1+1=3（3 分）（
27、n1）（4 分）an的通项公式为（5 分）（）解：（）bn为等差数列，且T3=9，b2=3（6 分）设bn的公差为d，则b1=3d，b3=3+da1=2，a2=3，a3=7，a1+b1=5d，a2+b2=6，（7 分）a1+b1，a2+b2，成等比数列，（5d）（17+d）=72d=1或d=13（不合题意，舍去）（8 分）bn=b1+（n1）d=n+1（9 分）（）（kN*），=点评：本题考查数列的综合应用，数列求和，放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力19已知点是离心率为的椭圆=1（ab0）上的一点，斜率为的直线BC交椭圆于B、C两点，且B、C与A点均不重合（）求椭圆的方程；（）ABC的
28、面积是否存在着最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求直线AB与直线AC斜率的比值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程（）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解ABC的面积的最大值（）设直线AB与直线AC的斜率分别为kAB和kAC，求出斜率的比值，结合（）求解即可解答：（本题14分）（）解：依题意，得（2 分）解得（3 分）椭圆的方程为（4 分）（）解：设B（
29、x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为，则有整理，得（5 分）由，解得（6 分）由根与系数的关系，得：，（7 分），设d为点A到直线BC的距离，则（8 分），当且仅当m=2时取等号，当m=2时，ABC的面积取得最大值（9 分）（）解：设直线AB与直线AC的斜率分别为kAB和kAC，则，故，由，得，点评：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用20已知函数f（x）=bx，g（x）=lnxf（x）（）若f（2）=2，讨论函数g（x）的单调性；（）若f（x）是关于x的一次函数，且函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，求实数b的取值范围；（）
30、在（）的条件下，求证：x1x2e2考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性；（）由f（x）=bx，得到g（x）的表达式，令g（x）=0，得，记，通过讨论h（x）的单调性，得到h（x）取得最小值，从而得到b的范围；（）要证，即证，设（t1），通过求导得到F（t）的单调性，从而得到F（t）0，进而证出结论解答：解：（）由f（2）=2，得ab=1则，其定义域为（0，+），当a0时，令g（x）=0，解得，x2=1，当a1时，则，函数g（x）在区间和（1，+）上单调递增，在区间上单调递
31、减，当a=1时，0，函数g（x）在区间（0，+）上单调递增，当1a0时，则，函数g（x）在区间（0，1）和上单调递增，在区间上单调递减，当a0时，g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，（）f（x）是关于x的一次函数，g（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+）由g（x）=0，得，记，则，在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增当x=e时，取得最小值，由h（1）=0，得x（0，1）时，h（x）0，而x（1，+）时，h（x）0，如下图：实数b的取值范围是（）由题意，得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，故lnx1x2+b（x1+x2）=0，不妨设x1x2，要证，只需证，即证，设（t1），则，函数F（t）在（1，+）上单调递增，而F（1）=0F（t）0，即点评：本题考察了导数的应用，考察函数的单调性、函数的极值问题，考察分类讨论思想、换元思想，本题是一道难题高考资源网版权所有，侵权必究！
