1、第6讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0做一做1y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，答案：A2用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_答案： 1辨明两个易误点(1)平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(2)解决三角函
2、数性质的有关问题时，要化为yAsin(x)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关2三角函数图象变换的两种方法做一做3(2014高考四川卷)为了得到函数ysin (2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度解析：选A.ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数ysin 2的图象，即函数ysin (2x1)的图象4已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则_解析：由题图可知，即T，所以，故.答案：,学生用书P67P69)_五点法作图及图象变换_已知函数y2sin.(1
3、)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到.扫一扫进入91导学网()函数yAsin(x)的图象解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表：xX02ysin X01010y2sin02020描点画图：(3)法一：把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象；再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象
4、法二：将ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到ysinsin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y2sin的图象将本例(3)变为：试说明y2sin怎样变化为ysin x的图象解：先将y2sin的图象纵坐标变为原来的，得ysin的图象，再把横坐标伸长为原来的2倍，得ysin的图象，再向右平移，即可得到ysin x的图象规律方法函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法：(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，
5、由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”1.(1)(2014高考浙江卷)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位(2)(2014高考重庆卷)将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x的图象，则f_解析：(1)因为ysin 3xcos 3xsinsin，又ycos 3x
6、sinsin，所以应由ycos 3x的图象向右平移个单位得到(2)将ysin x的图象向左平移个单位长度可得ysin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得ysin的图象，故f(x)sin.所以fsinsin.答案：(1)C(2)_由图象确定yAsin(x)的解析式_(1)(2015贵阳高三适应性监测考试)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的图象如图所示，则f(x)的解析式为()Af(x)sinBf(x)sinCf(x)sinDf(x)sin (2)已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f()A2 B.C. D2解析(1)由题图可知A1，且T，解得2，
7、f(x)sin(2x)把代入，得1sin，|，f(x)sin，故选A.(2)由题图可知：T2，2，2k(kZ)又|0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是()AA3，T，BA1，T，CA1，T，DA1，T，(2)若函数yAsin(x)(A0，0，|0，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)存在周期，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k
8、，0)(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称中心利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴3.(1)(2014高考福建卷)将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Ayf(x)是奇函数 Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点对称(2)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示求函数f(x)的解析式；求函数g(x)ff的单调递增区间解析：(1)选D.由题意知，f(x)cos x，所以它是偶函数，A错；它的周期为2，B错；它的对称轴是直线xk，kZ，C错；它的对称中心是点，kZ，D对(
9、2)解：由题设图象知，周期T2，所以2.因为点在函数图象上，所以Asin0，即sin0，所以k(kZ)又因为0，所以.又点(0，1)在函数图象上，所以Asin1，解得A2，故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数g(x)的单调递增区间是，kZ._三角函数模型的简单应用_(2014高考湖北卷)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsin t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实
10、验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温规律方法三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之
11、间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模4. 如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0，4的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.求A，的值和M，P两点间的距离解：连接MP(图略)依题意，有A2，3，又T，y2sinx.当x4时，y2sin3，M(4，3)又P(8，0)，MP5.即M，P两点相距5 km.,学生用书P70)交汇创新三角函数背景下的创新(20
12、14高考课标全国卷)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)22或m2.答案C名师点评本题把三角函数问题与不等式的存在性问题综合在一起命制可谓妙笔生花之作；同时本题妙就妙在对考生基本知识的考查(体现在简单三角函数的极值点是什么和“存在”的含义)以及数学能力的不同层次反映，善于运用数形结合的考生会通过几何图形去分析，代数变换强的考生只要深知等价转化的精髓也可以及时突破已知函数f(x)2sin x1(x0，2)，设h(x)|f(x)|a，则当1a3时，函数h(x)的零点个数为()A1B2C3 D0解析：选B.作出函数y1|f(x)|的图象，如图所示，令y2a，则当1a0)的
13、部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若ABC是直角三角形，则的值为()A.B.C. D解析：选A.由已知得ABC是等腰直角三角形，且C90，|AB|ymaxymin1(1)2，即|AB|4，而T|AB|4，解得，故选A.5(2014高考天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A.B.C D2解析：选C.f(x)sin xcos x2sin(0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.
14、6若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_解析：由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4.所以fsin0.答案：07函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则f_解析：依题意，4.f(x)tan 4x.ftantan 0.答案：08某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1，2，3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温值为_.解析：依题意知，a23，A5，y235cos，当x10时，y235cos20.5.答案：20.59(2015合肥模拟)设函数f(
15、x)cos(x)(0，0)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象解：(1)最小正周期T，2.fcoscossin ，sin .0，.(2)由(1)得f(x)cos(2x)，列表如下：x02x0f(x)1010图象如图所示10已知函数f(x)Asin(x)(xR，A0，0，0)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点若OQ4，OP，PQ. (1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x0，3时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域解：(1)由条件，cos
16、POQ，所以P(1，2)所以A2，周期T4(41)12，又12，则.将点P(1，2)代入f(x)2sin，得sin1，因为00，0，|0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ysin的图象重合，则的最小值为_解析：ysinsin，ysinsin，由题意知，当时，最小，解得.答案：4(原创题)已知函数f(x)cos，其中x，若f(x)的值域是，则m的取值范围是_解析：画出函数图象，由x，可知3x3m，因为fcos且fcos 1，要使f(x)的值域是，只要m，即m的取值范围是.答案：5已知f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期为2，且当x时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(
17、2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴若不存在，请说明理由解：(1)由T2知2得.又当x时，f(x)max2，知A2.且2k(kZ)，故2k(kZ)f(x)2sin2sin，故f(x)2sin.(2)存在令xk(kZ)得xk(kZ)由k.得k，又kZ，知k5.故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x.6(选做题)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期
18、性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f(x)Asin(x)B(A0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在2，8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500.根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时，f(x)最小，当x8时，f(x)最大，故sin1，且sin1.又因为0|，故.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)200sin300.(2)由条件可知，200sin300400，化简，得sin2kx2k，kZ，解得12k6x12k10，kZ.因为xN*，且1x12，故x6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物