1、2.2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系(重点)2会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题(重点)3等差数列的证明及其应用(难点)基础初探教材整理1等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列()(2
2、)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37P38例1的有关内容，完成下列问题对于等差数列an的第n项an，有ana1(n1)dam(nm)d.1若an是等差数列，且a11，公差d3，则an .【解析】a11，d3，an1(n1)33n2.【答案】3n22若an是等差数列，且a12，d1，若an7，则n .【解析】a1
3、2，d1，an2(n1)1n1.由an7，即n17，得n6.【答案】6小组合作型等差数列的判定与证明判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中，an3n2；(2)在数列an中，ann2n.【精彩点拨】【自主解答】(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列1定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数
4、列an不是等差数列2应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变再练一题1已知数列an的通项公式anpn2qn(p，qR，且p，q为常数)，记bnan1an.求证：对任意实数p和q，数列bn是等差数列【证明】an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，bn1bn(an2an1)(an1an)2p为一个常数，故数列bn是等差数列.等差数列的通项公式已知数列an是等差数列，且a510，a1231. 【导学号：92862034】(1)求an的通项公式；(2)若an13，求n的值【精彩点拨】建立首项a1和d的方程组求an；由an13解方程得n.【自主解答】(1)设an的首项为a1，公
5、差为d，则由题意可知解得an2(n1)33n5.(2)由an13，得3n513，解得n6.1从方程的观点看等差数列的通项公式，ana1(n1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”2已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形anam(nm)d.再练一题2已知递减等差数列an前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？【解】依题意得解得或数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16，即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1
6、634，得n10.34是数列an的第10项探究共研型等差数列的应用探究1若数列an满足1且a11，则a5如何求解？【提示】由1可知1.是首项1，公差d1的等差数列1(n1)1n，ann2，a55225.探究2某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】设第n排有an个座位，由题意可知anan12(n2)又a120，an20(n1)22n18.a152151848.即第15排有48个座位某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发
7、新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，每年获利构成等差数列an，且当an0时，该公司会出现亏损设从第1年起，第n年的利润为an，则anan120，n2，nN*.所以每年的利润可构成一个等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损1在实际问
8、题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题再练一题3甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123？60距离s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型因为a19.8，d9
9、.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.(2)当t1 min60 s时，s9.8t9.860588 cm.当s49 cm时，t5 s.1下列数列中是等差数列的为 (填序号)6,6,6,6,6；2，1,0,1,2；5,8,11,14；0,1,3,6,10.【解析】是等差数列，不是等差数列【答案】2若数列1，a,9是等差数列，则a的值为 【解析】由1，a,9成等差数列可知，a19a，2a19，a5.【答案】53若数列an满足a11，an1an2，则an .【解析】由an1an2，得an1an2，an是首项a11，d2的等差数列，an1(n1)22n1.【答案】2n14设数列an的公差
10、为d，则数列a3，a6，a9，a3n是 数列，其公差为 . 【导学号：92862035】【解析】a3na3(n1)3d.【答案】等差3d5梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度【解】用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a133，a12110，n12.由通项公式，得a12a1(121)d，即1103311d，解得d7.因此，a233740，a340747，a454，a561，a668，a775，a882，a989，a1096，a11103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.