1、2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x2，B=y|y=3x+2，xR，则AB=（）A（1，4）B（2，4）C（1，2）D（1，+）2已知aR，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A10B C5D3等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A130B260C20D1504如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7
2、x+0.35，则下列结论错误的是（） x 3 45 6 y 2.5t 44.5 A线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B产品的生产能耗与产量呈正相关Ct的取值必定是3.15DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5若抛物线C：y2=2xcosA（其中角A为ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A B C D6已知函数，若f（x+）是周期为2的偶函数，则的一个可能值是（）A B CD7已知数列an中，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）An2014Bn2016Cn2015Dn20178已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆
3、随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）A B C D9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A B9C D1010双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A B C D11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM=，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C双曲线D椭圆12若关于x的方程4sin2xmsinx+1=0在（0，）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围
4、为（）Am4或m4B4m5C4m8Dm5或m=4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在机读卡上相应的位置13如果圆（xa）2+（ya）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是14已知点M（x，y）的坐标满足，N（2，1），点O为坐标原点，则的最大值为15四棱锥MABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥ABCM的体积的最大值是16已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：M=（x，y）|y=x2+1；
5、 M=（x，y）|y=log2x；M=（x，y）|y=2x2；M=（x，y）|y=sinx+1；其中是“垂直对点集”的序号是三、解答题共5小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2n，nN*（1）求证：数列an+2为等比数列；（2）设，且数列bn的前n项和为Tn，求18城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如表所示（单位：min）组别候车时间人数一0，5）1二5，10）6三10，15）4四15，20）2五20，252（
6、1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率19如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E、F分别是BC、PC的中点（1）证明：AEPD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥BAEF的体积20已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k0）相交于不同的两点M、N当|AM|=|AN|时，求m的取值范围21已知函数f（x）=（）
7、求函数f（x）在区间1，e2上的最值；（）证明：对任意nN+，不等式ln（）e都成立（其中e为自然对数的底数）选修4-1：几何证明选讲22如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E（1）求证：（2）求ADAE的值选修4-4：坐标系与参数方程23极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|选修4-5：不等式选讲24设函数f（x
8、）=|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x2，B=y|y=3x+2，xR，则AB=（）A（1，4）B（2，4）C（1，2）D（1，+）【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：log2x2=log24，即0x4，A=（0，4
9、），由B中y=3x+22，得到B=（2，+），则AB=（2，4），故选：B2已知aR，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A10B C5D【考点】复数求模【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，由题意求出a值，则答案可求【解答】解：为纯虚数，解得：a=2，|1+ai|=|1+2i|=故选：D3等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A130B260C20D150【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质结合已知求得a7，再由S13=13a7得答案【解答】解：在等差数列an中，由a2+a7+a12=60，得3a7=60，a7=20S13=13a7=1
10、320=260故选：B4如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（） x 3 45 6 y 2.5t 44.5 A线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B产品的生产能耗与产量呈正相关Ct的取值必定是3.15DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可【解答】解： =（3+4+5+6）=4.5，则=0.74.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正
11、确，0.70，产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5若抛物线C：y2=2xcosA（其中角A为ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的准线方程，由题意可得cosA=，运用同角的平方关系和二倍角公式，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线C：y2=2xcosA的准线方程为x=，准线过点，可得=，即cosA=，sinA=，则cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA=（）2+2（
12、）=故选：A6已知函数，若f（x+）是周期为2的偶函数，则的一个可能值是（）A B CD【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得3+=k+，kZ，从而求得的值【解答】解：函数，若f（x+）=2sin3（x+）+=2sin（3x+3+）是周期为2的偶函数，=2，且 3+=k+，kZ，求得=，=k+，结合所给的选项，则的一个可能值是，故选：B7已知数列an中，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）An2014Bn2016Cn2015Dn2017【考点】程序框图【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件
13、，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A=，n=2+1=3，当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值所以，判断框内的条件应为：n2016故选：B8已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）A B C D【考点】向量的线性运算性质及几何意义；几何概型【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的中
14、点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，得=2由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P=故选C9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A B9C D10【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为圆柱与球的组合体表面共有5部分组成【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1所以几何体的表面积为12+213+=9故选B10双曲线=1（a0，b0）的左、右
15、焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在MF1F2中tan30=即=解得e=故选：D11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM=，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C双曲线D椭圆【考点】轨迹方程【分析】建立空
16、间右手系，得到M的坐标，设出P的坐标，由题意列式求得P的轨迹【解答】解：建立如图所示的坐标系，M（1，0），设P（x，y，0），由动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，得，整理得：动点P的轨迹是抛物线故选：B12若关于x的方程4sin2xmsinx+1=0在（0，）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）Am4或m4B4m5C4m8Dm5或m=4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用换元法，结合三角函数的性质以及一元二次方程与一元二次函数之间的关系进行求解即可【解答】解：设t=sinx，则0t1，则方程等价为f（t）=4t2mt+1=0在（0，1内有唯一解，即或
17、f（1）=5m0，得m=4或m5故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在机读卡上相应的位置13如果圆（xa）2+（ya）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（3，1）（1，3）【考点】直线与圆的位置关系【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|dr|a|或d+r|a|，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，圆（xa）2+（ya）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，d=，|dr|a|或d+r|a|a|，即1|a|3，解得 1a3或3a1实数a的取值范围是（3，1）（1，3）故
18、答案为：（3，1）（1，3）14已知点M（x，y）的坐标满足，N（2，1），点O为坐标原点，则的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到的表达式，通过平移直线求出其最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（1，6），设M（x，y），则=2x+y，令2x+y=z，则y=2x+z，平移直线发现y=2x+z过A（1，6）时，z最大，z的最大值是：z=2+6=4，故答案为：415四棱锥MABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥ABCM的体积的最大值是24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】三棱
19、锥ABCM体积等于三棱锥MABC的体积，已知正方形ABCD的边长为6，空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，只要求出M点到AB的最大值即可【解答】解：三棱锥ABCM体积=三棱锥MABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，SABC=66=18，又空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，当|MA|=|MB|时，M点到AB距离最大，h=4，三棱锥MABC的体积的最大值为V=SABCh=184=24，三棱锥ABCM体积的最大值为24，故答案为：2416已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2
20、=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：M=（x，y）|y=x2+1； M=（x，y）|y=log2x；M=（x，y）|y=2x2；M=（x，y）|y=sinx+1；其中是“垂直对点集”的序号是【考点】元素与集合关系的判断【分析】对于利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于、通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于M=（x，y）|y=x2+1，取点（0，1），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，不是“垂直对点集”对于M=（x，y）|y=log2x，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原
21、点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”对于M=（x，y）|y=2x2，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确对于M=（x，y）|y=sinx+1，对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确所以正确故答案为：三、解答题共5小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2n，nN*（1）求证：数列an+2为等比数列；（2）设，且数列bn
22、的前n项和为Tn，求【考点】数列的求和【分析】（1）由Sn=2an2n，推出an=2an1+2，然后证明an+2是以4为首项，2为公比的等比数列（2）求出数列bn的前n项和为Tn，然后利用裂项消项法求解数列的和即可【解答】（1）证明：由Sn=2an2n有Sn1=2an12（n1），相减得an=2an2an12an=2an1+2即an+2=2（an1+2） 又S1=2a12，解得a1=2故an+2是以4为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得， 18城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样
23、本分成5组，如表所示（单位：min）组别候车时间人数一0，5）1二5，10）6三10，15）4四15，20）2五20，252（1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，求得抽到的两人恰好来自同一组的情况共计7种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率【解答】解：（1）候车时间少于10分
24、钟的人数所占的比例为=，故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为 60=28（2）设表中第三组的4个人分别为a1、a2、a3、a4、第四组的2个人分别为b1、b2，从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况：（a1，a2 ）、（ a1，a3 ）、（ a1，a4 ）、（a1，b1）、（ a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共计15种抽到的两人恰好来自同一组：（a1，a2 ）、（ a1，a3 ）、（ a1，a4 ）、（a2，a3）、（a
25、2，a4）、（a3，a4）、（b1，b2），共计7种，故抽到的两人恰好来自同一组的概率为19如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E、F分别是BC、PC的中点（1）证明：AEPD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥BAEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由PA平面ABCD得出AEPA，由ABC是等边三角形得出AEAD，故而AE平面PAD，于是AEPD；（2）由AE平面PAD可知EHA为直线EH与平面PAD所成的角，故而当AHPD时，EHA最大，求出此时P
26、A的长，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】证明：（1）PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE底面ABCD为菱形，ABC=60，ABC，ACD是等边三角形，又E为BC的中点，EAC=30，DAC=60，EAD=90，即AEAD又PA平面PAD，AD平面PAD，PAAD=A，AE平面PAD，PD平面PAD，AEPD（2）由（1）得AE平面PAD，EHA为直线EH与平面PAD所成的角tanEHA=当AH最短时，tanEHA取得最大值即当AHPD时，tanEHA=，AH=又AD=2，ADH=45，PA=AD=2，VBAEF=VFABE=20已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上若右焦点到
27、直线xy+2=0的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k0）相交于不同的两点M、N当|AM|=|AN|时，求m的取值范围【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）=0，由于直线与椭圆有两个交点，0，即m23k2+1由此可推导出m的取值范围【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）=0由于直线与椭圆有两
28、个交点，0，即m23k2+1从而又|AM|=|AN|，APMN，则即2m=3k2+1把代入得2mm2解得0m2由得解得故所求m的取范围是（）21已知函数f（x）=（）求函数f（x）在区间1，e2上的最值；（）证明：对任意nN+，不等式ln（）e都成立（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质【分析】（）求导f（x）=；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（）由（）知，令F（x）=，则F（x）=在1，e）上单调递增，在（e，e2上单调递减且F（x），（x1）；从而可得elnxx，从而证明【解答】解：（）f（x）=，f（x）=；当x1，e）时，f（x）0
29、，当x（e，e2时，f（x）0；故f（x）在1，e）上单调递增，在（e，e2上单调递减；且f（1）=01=1；f（e）=10，f（e2）=11；故函数f（x）在区间1，e2上的最小值为1；最大值为1；（）证明：由（）知，令F（x）=；则F（x）=在1，e）上单调递增，在（e，e2上单调递减；且F（x），（x1）；故，（x1）；故elnxx；令x=得，eln；故对任意nN+，不等式ln（）e都成立（其中e为自然对数的底数）选修4-1：几何证明选讲22如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E（1）求证：（2）
30、求ADAE的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由弦切角定理推导出PABPCA，由此能证明（2）由切割线定理得PA2=PBPC，由AE是BAC的角平分线，得AECABD，由此能求出ADAE的值【解答】证明：（1）PA为圆O的切线，PAB=ACP，又P为公共角，PABPCA，解：（2）PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，PA2=PBPC，PC=40，BC=30，又CAB=90，AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，AE是BAC的角平分线，且AEC=ABD，AECABD，选修4-4：坐标系与参数方程23极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已
31、知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）对极坐标方程两边同乘即可得到普通方程；（2）将直线参数方程代入曲线普通方程解出A，B两点对应的参数关系，利用参数得几何意义得出|AB|【解答】解：（1）sin2=8cos，2sin2=8cos，曲线C的直角坐标方程是：y2=8x（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2=8x得3t2=8（2+t），即3t216t64=0设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=|AB|=|t1t2|=选修
32、4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出和相互矛盾，所以假设不成立【解答】解：（1）分三类讨论如下：当x1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）3；当1x时，f（x）=5x2，单调递减，f（x）max=f（1）=3，当x时，f（x）=x4，单调递减，f（x）f（）=，综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6=2=2a3b3，所以，又因为+=Mab=3ab2，所以，显然相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6=2016年7月21日