1、2020届南大奥宇第二次月考考试数学学科试卷（高二）一、选择题（每题5分共45分）1. 已知两点，则直线的斜率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可【详解】已知两点，由斜率公式得.故选：C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题2. 若直线ax+2y+1=0与直线x+2y2=0互相垂直，则实数a的值是（ ）A. 1B. 1C. 4D. 4【答案】D【解析】【分析】由直线方程一般式垂直的条件计算【详解】由题意，故选D【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为和，则它们垂直充要条件是3. 若则不等式的解是（ ）A. B. C. 或D. 或【
2、答案】A【解析】【分析】转化原不等式可得，结合及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由可得，故选：4. 若，则的最小值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B【解析】【分析】由a+2b2，可得a+2b的最小值【详解】a0，b0，ab2，a+2b2，当且仅当a2b2时取等号，a+2b的最小值为4故选B【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题5. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意可得，求出，的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得值.【详解】椭圆的焦点在轴上，则，又长轴长是短轴长的两倍，
3、即，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题.6. 双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A. 22或2B. 7C. 22D. 2【答案】A【解析】【分析】设双曲线的左右焦点分别为，利用双曲线的定义，即可求得答案【详解】设双曲线的左右焦点分别为，则，设P双曲线上一点，不妨令（）， 点可能在左支，也可能在右支， 由，得， 所以或2 所以点到另一个焦点的距离是或 故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题7. 设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）A. B. C. 24D. 48【答案】C
4、【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.8. 抛物线x24y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A. 2B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【详解】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1.根据抛物线定义，得yP13，解得yP2，代入抛物线方程求得xP ，点P到y轴的距离为.故选A.9. 已知点及抛物线上的动点，则的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义，将点到准线的距离转化为，再利用
5、不等式的性质数形结合即可得到答案.【详解】因为抛物线的方程为，所以焦点为，准线方程为：，所以抛物线上的动点到准线的距离为，由抛物线的定义可得，又因为，所以，当且仅当三点共线时取等号，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用抛物线的定义将点到准线的距离转化为，即，所以，再利用两点间距离公式即可.二、填空题（每题5分共30分）10. 已知正项等比数列中，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等比数列通项公式可得,则,由可得,进而求得【详解】由,得,所以,又因为,即,所以或,因为正项等比数列,则,所以故答案为：【点睛】本题考查求等比数列通项公式,考查运算能力11. 椭圆被直线截得的弦长为_.【答
6、案】 【解析】由 消去y并化简得设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则所以弦长. 故填.12. 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_【答案】35【解析】试题分析：设右焦点为，由椭圆的对称性可得，由椭圆的定义可得=35考点：考查了椭圆的几何性质，椭圆的定义点评：掌握椭圆的性质，即对称性是解题的关键13. 已知关于的不等式的解集是或，则的解集为_.【答案】【解析】【分析】由不等式的解集得出、之间的关系，再化简不等式，求出它的解集即可【详解】关于的不等式的解集是或，方程的实数根是和3，且；由根与系数的关系，得，；关于的不
7、等式可化为，即；解得，该不等式的解集为故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应的一元二次方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题14. 已知直线和双曲线的右支交于不同两点，则的取值范围是_【答案】【解析】由直线和双曲线联立方程组，消y得 因为该方程有两个不等大于1的根，所以 点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数问题，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数. 利用韦达定理或求根公式进行转化，利用数形结合研究根的分布情况，若能用圆锥曲线的定义求解则更方便.15. 过点Q(4，1)作抛物线的弦AB，该弦恰被Q平分，则直线AB的方程为_【答案】【解析】【分析】很明显
8、直线斜率存在，利用点差法求得斜率，然后确定直线AB的方程即可.【详解】由题意可知，当AB垂直于x轴时，不符合题意，故直线AB的斜率存在设，则，且，得，即，即，故直线AB斜率，故直线AB的方程为，即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（每题15分共75分）16. 求下列不等式解集（1）；（2）（3）（其中属于实数）【答案】（1）；（2）；（3）分类讨论，答案见解析【解析】【分析】（1）原不等式等价转化为，求出它的解集即可；（2）求出判别式，结合对应的二次函数的图象即可求解；（3）原不等式等价于，对应方程的两根为，讨论两根
9、的大小即可写解集.【详解】解：（1）不等式可化为，解得，所以不等式的解集为；（2）不等式中，所以不等式的解集为（3）解：，方程的两根分别为和，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为，当即时，不等式无解综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为，时，不等式无解【点睛】思路点睛：含参数的一元二次不等式分类讨论的方法（1）当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的大小关系；（3）确定无根时可以直接写出解集，确定方程有2个根时要讨论两根大小关系，
10、从而确定解集的形式.17. 设椭圆C：过点（0，4），离心率为.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出=4，再根据，代入即可求解.（2）直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立消，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）将（0，4）代入C的方程得，=4，又 得，即，A=5，C的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A，B，将直线方程代入C的方程，得，即， AB的中点坐标，即中点为【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.18.
11、 已知递增等比数列，（1）求的通项公式（2）设，且前项和为，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）本题首先可将转化为，然后与联立，即可求出、的值，从而求出公比和通项公式；（2）本题首先可根据得出，然后通过错位相减法求和即可得出结果.【详解】（1）设数列的公比为，因为等比数列单调递增，所以，解得，则，.（2）因为，所以，则，故.故.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列通项公式的求法以及错位相减法求和，常见的求和公式有：等差等比公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是中档题.19. 已知双曲线的方程是.（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是
12、双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.【答案】（1）焦点坐标，离心率，渐近线方程为；（2）.【解析】试题分析：将双曲线转化为标准形式，得到，的值，即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；先根据双曲线的定义得到，再由余弦定理得到的值，进而可得到的大小解析：（1）解：由得，所以，所以焦点坐标，离心率，渐近线方程为.（2）解：由双曲线的定义可知， ，则.20. 已知点， 其中是曲线上的两点， ， 两点在轴上的射影分别为点， ，且. （I）当点的坐标为时，求直线的斜率；（II）记的面积为，梯形的面积为，求证： .【答案】（）；（）见解析.【解析】试题分析：()由题意结合直线的斜率公式可得 ；()设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，可得 ， ，则 .据此即可证得题中的结论试题解析：（）因为，所以代入，得到 又，所以，所以 代入，得到 所以 （）法一：设直线的方程为.则由, 得,所以所以,又，所以，所以，因为，所以,所以.法二：设直线的方程为.由, 得,所以,点到直线的距离为, 所以 所以 又，所以因为，所以所以