1、中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）答案本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 DAACD CBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分11. ; 12; 13. ; 14. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）设平面向量，函数。（）求函数的值域和函数的单调递增区间;（）当,且时,求的值.15解： 依题意（2分） （4分）（） 函数的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函数的单调增区间为.（8分）（）由得,因为所以得,
2、（10分） （12分）16（本题满分12分）某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率. 解：（）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200
3、人， 其中选A款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了 份. .（2分）设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”， 则 . .（5分）答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是. .（6分）（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . .（7分）记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d. .（8分）设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,
4、c),(b,d),(c,d)6个基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， （10分）则. （12分）17（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于, 四边形ABCD是正方形.（）求证；（）求四棱锥E-ABCD的体积.（）AE是圆柱的母线，下底面，又下底面，.3分又截面ABCD是正方形，所以，又面，又面， （7分）（）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高（8分），由（）知面，面，面面，又面面，面，面，即EO就是四棱锥的高（10分）设正方形的边长为, 则，又，为直径，即在中，, 即，
5、 （12分）18.（本小题满分14分）数列的前n项和为，（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（）若，求不超过的最大整数的值。18【解析】(1) 因为，所以 当时，则， （2分） 当时，（4分）所以，即，所以，而， （6分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（7分）（2）由(1)得所以 ， （9分）-得：， （12分）. （14分）19（本小题满分14分） 已知函数，.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：19. 解:（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立（1分）由得当时，此时在上单调递增 故，符合题意（3分）当时，当变化时的
6、变化情况如下表： （4分）单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20已知函数，其中，且.当时，求函数的最大值； 求函数的单调区间；设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.解：当时， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减 （4分），（）当时，函数的增区间为，当时，当时，函数是减函数；当时，函数是增函数。综上得，当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为 （10分） 当，在上是减函数，此时的取值集合；当时，若时，在上是增函数，此时的取值集合；若时，在上是减函数，此时的取值集合。对任意给定的非零实数，当时，在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，；当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，。综上得，实数的取值范围为。 （14分）