1、7正切函数Q“东升西落照苍穹，影短影长角不同”随着太阳高度的变化，地面物体的影子的长度也随之变化，在这些变化之中蕴藏着物体影子长度与光线角度之间的关系，这个关系是什么呢？前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质，那么正切函数又有什么特定的性质呢？X1正切函数在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，那么角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值_，根据函数的定义，比值_是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作_ytan _，其中R，k(kZ)2正切线在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角的终边与单位圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终
2、边的延长线相交于点T，称线段_AT_为角的正切线3正切函数ytan x(xR，xk，kZ)的主要性质(1)定义域_；(2)值域_R_；(3)正切函数是周期函数，周期是_k(kZ，k0)_，最小正周期是_；(4)正切曲线关于_原点O_对称，tan (x)tan x，正切函数是_奇_函数；(5)正切函数在每一个开区间_(kZ)_内都是递增的4有关正切函数的诱导公式tan (k)_tan _.tan (2)_tan _.tan ()_tan _.tan (2)_tan _.tan ()_tan _，tan ()_tan _.知识点拨正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性(2)
3、正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(，)，(，)，上都是增函数(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(，)(，)上是增函数Y1函数y2tan (x)的最小正周期是(B)AB2C3D42(2019福建龙岩期中)函数ytan (x)的定义域是(A)AxR|xk，kZBxR|xk，kZCxR|x2k，kZDxR|x2k，kZ解析由正切函数的定义域可得，xk，kZ，x，k，kZ.故函数的定义域为xR|xk，kZ3比较大小：tan ()_0可判断出角所在的象限，然后利用三角函数的定义求sin 与cos .解析因为tan 0，所以，是第一或第三象限的角(1
4、)如果是第一象限角，则由tan 知，角终边上必有一点P(4,3)，所以x4，y3.因为r|OP|5，所以sin ，cos .(2)如果是第三象限的角，则由tan 可知，角终边上必有一点P(4，3)，所以x4，y3.可知r|OP|5，所以sin ，cos .规律总结(1)已知角终边上一点P(x，y)，点P到原点O的距离r|OP|，则sin ，cos ，tan .(2)已知角的正切值，在求它的正弦值和余弦值时，要注意对角所在的象限分类讨论跟踪练习1已知角的终边经过点P(1，2)，求的值解析x1，y2，tan 2.命题方向2正切函数的诱导公式及应用典例2化简：.思路分析利用诱导公式均化为的三角函数解
5、析原式1.规律总结利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的跟踪练习2求的值分析利用诱导公式均化为锐角的正切值后，再求值解析原式2.点评此类题目的求解过程是先化为锐角(特殊角)的正切值，再求值命题方向3求定义域和单调区间典例3求函数ytan 的定义域，并指出它的单调性思路分析把3x看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决解析要使函数有意义，自变量x的取值应满足3xk(kZ)，得x(kZ)，函数的定义域为.令k3xk(kZ)，即x0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.(2)求函数yAtan (x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan
6、x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan (x)转化为yAtan (x)Atan (x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可跟踪练习3求函数y3tan 的定义域，并指出它的单调性解析要使函数有意义应满足k，得x4k，函数定义域为.y3tan ()3tan ()，由kk，kZ，得4kx4k，kZ.y3tan ()的单调递减区间为(4k，4k)，kZ.不存在增区间命题方向4诱导公式与单调性综合运用典例4不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小(1)tan 与tan ；(2)tan 1
7、26与tan 496.思路分析不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式化到同一个单调区间内解析(1)ytan x在上是增函数，tan 13612690，tan 136tan 126，即tan 496tan 126.规律总结运用正切函数的单调性比较tan 与tan 大小的步骤：(1)利用诱导公式将角，转化到同一单调区间内，通常是转化到区间(，)内；(2)运用正切函数的单调性比较大小跟踪练习4不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“”连接起来(1)tan 32_tan 215.(2)tan _tan .解析(1)tan 215tan (18035)tan 35，ytan x在(90，90)
8、上单调增，90323590，tan 32tan 35，即tan 32tan 215.(2)tan tan tan ，tan tan tan ，而，ytan x在上单调增，tan tan ，tan tan .X运用图像变换作图典例5画出函数y|tan x|tan x的图像，并根据图像求出函数的主要性质解析由y|tan x|tan x知y(kZ)其图像如图所示函数的主要性质为：定义域：x|xR，xk，kZ；值域：0，)；周期性：T；奇偶性：非奇非偶函数；单调性：单调增区间为k，k)，kZ.规律总结(1)作函数y|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)的图像在x轴上方的
9、部分；将函数yf(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可跟踪练习5函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间(，)内的图像大致是(D)解析x时，sin x0，tan x0，ytan xsin x(sin xtan x)2tan x，x时，sin x0，ytan xsin x(tan xsin x)2sin x，故选DY典例6已知集合Ax|tan x0，集合Bx|0，试求AB.错解由0，得即所以tan x，解得xk(kZ)故AB.辨析上述解法错误的原因是误认为正切函数是R上的单调递增函数正解由0，得
10、即所以tan x.因为Ax|tan x0，所以AB .由正切函数的单调性，得AB .规律总结正切函数在每一个单调区间内都是增函数，但是在整个定义域内不是增函数，利用单调性解题时，不要忽略正切函数的定义域跟踪练习6满足tan x的x的集合是_(kZ)_.解析在内tan x时，x，tan x时，x，又ytan x的周期为k(kZ)x的集合为(kZ)K1tan 等于(A)ABCD解析tan tan ()tan .2下列命题中，正确的是(C)Aytan x是增函数Bytan x在第一象限是增函数Cytan x在区间(k，k)(kZ)上是增函数Dytan x在某一区间内是减函数解析对于选项A，例如x10
11、，x2，x1tan x2，故A不对对于选项B，例如x1，x22，x1x2，但tan x1tan x2，故B不对对于选项C，由正切函数的性质知是正确的选项D不正确3函数f(x)的定义域为(A)Ax|xR且x，kZBx|xR且xk，kZCx|xR且xk，kZDx|xR且xk，kZ解析(kZ)得x且x，即x，kZ，故选A4函数ytan (x)在一个周期内的图像是(A)解析由f(x)tan (x)，知f(x2)tan (x2)tan (x)f(x)f(x)的周期为2，排除B，D令tan ()0，得k(kZ)x2k(kZ)，若k0，则x，即图像过点(，0)，故选A5函数y3tan (x)的最小正周期是，则_2_.解析T，2.