1、学业分层测评(十四)向量的概念及表示(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.已知非零向量ab，若非零向量ca，则c与b必定_【解析】平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)【答案】平行(或共线)2.如图217(1)，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图(2)中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为_图217【答案】aedcb3.已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.【解析】利用两向量共线的坐标运算公式求解a(m，4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.【答案】64.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行
2、向量，与是共线向量，则m_. 【导学号：48582073】【解析】与不共线，且m，m，m0.【答案】05如图218所示，已知AD3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有_图218【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：，；模长为3的向量有：，.【答案】，6.给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能使a与b共线的是_(填所有正确的序号)【解析】根据相等向量一定是共线向量知正确；|a|b|但方向可以任意，不成立；a与b反向必平行或重合，成立；由|a|0或|b|0，得a0或b0.根据0与
3、任何向量共线，得成立；两单位向量的模相等但方向不定，不成立【答案】7如图219，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为_图219【解析】ABEF，CDEF，与方向相反的向量为，.【答案】，8.如图2110所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形图2110(1)与向量相等的向量有_；(2)若|3，则向量的模等于_【解析】相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有，.若|3，则|3，所以，|236.【答案】(1)，(2)6二、解答题9一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏
4、东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地图2111(1)在如图2111所示的坐标系中画出，；(2)求B地相对于A地的方位. 【导学号：48582074】【解】(1)向量，如图所示(2)由题意知，AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，则B地相对于A地的方位是“北偏东60，6千米”10如图2112所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形图2112(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？【解】(1)与相等的向量有：，.(2)与共线的向量有：，.(3)向量与不
5、相等，因为与的方向相反，所以它们不相等能力提升1已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_ .【解析】结合菱形的性质可知|22.【答案】22如图2113所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连结相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数有_图2113【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个【答案】8个3.如图2114所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集MO，A，B，C，D，向量的集合T|P，QM，且
6、P，Q不相等，则集合T有_个元素图2114【解析】以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5420(个)但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，由元素的互异性知T中有12个元素【答案】124如图2115，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？ 【导学号：48582075】图2115【解】不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：模为2的相等向量共有8对，.模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对模为的相等向量共有4对，.