1、1.3等式、不等式的性质与基本不等式必备知识预案自诊知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a-b0ab,a-b=0ab,a-b1ab(aR,b0),ab=1ab(aR,b0),ab0).2.不等式的性质(1)对称性:abbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n2).(6)可开方:ab0nanb(nN,n2).3.基本不等式:aba+b2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当时,等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a,
2、b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.4.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)当积xy等于定值p时,那么当且仅当时,x+y有最值2p(简记:积定和最小).(2)当和x+y等于定值s时,那么当且仅当时,xy有最值s24(简记:和定积最大).1.若ab0,m0,则bab-ma-m(b-m0);aba+mb+m;ab0).2.a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.3.aba+b22(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.4.a2+b22a+b22(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.5.ba+ab2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.考点自诊1.判
3、断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)abac2bc2.()(2)ab0,cd0adbc.()(3)若ababb2.()(4)两个不等式a2+b22ab与a+b2ab成立的条件是相同的.()(5)y=sin x+4sinx(0xNB.M=NC.Mb,cd,则下列结论中正确的是()A.adbcB.a-cb-dC.acbdD.a+cb+d4.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b2ab,则()A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件5.(2020山东淄博4月模拟,
4、14)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.关键能力学案突破考点比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知a,b(0,1),且ab,下列各式中最大的是()A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()A.abcB.cbaC.cabD.bab0,m0,则()A.ba=b+ma+mB.bab+ma+mC.bab+ma+mD.ba与b+ma+m的大小关系不确定(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.考点不等式的性质及应用【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数
5、轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.b-ac+aB.c2caD.|b|cb1,c0,则()A.cacbB.cacbC.aclogb(a-c)解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.不等式两边都乘以一个负数时要改变不等号的方向;3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;4.当ab0时,对不等式ab两边取倒数,即两边同乘以1ab,化简得1b1a.对点训练2(1)已知1a1b0,给出下列三个结论:a22;lg a2lg ab.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.(2)(多选)(2020山东青岛5月模拟,
6、9)设a,b,c为实数,且ab0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)log2b2B.ac2bc2C.ba112b考点基本不等式及其应用(多考向探究)考向1利用基本不等式证明不等式【例3】已知a,b,c0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+1b+1c9;(2)1a-11b-11c-18.解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号
7、能否取到.对点训练3已知a0,b0,a+b=1,求证:1+1a1+1b9.考向2求不含等式条件的最值问题【例4】(1)已知x0,则函数y=4x2-x+1x的最小值为()A.1B.3C.6D.8(2)(2020山西运城期末,理15)对任意的0,2,不等式1sin2+4cos22x-1恒成立,则实数x的取值范围是.解题心得1.应用基本不等式应注意:(1)在应用基本不等式求最值时,判断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正各项均为正;二定积或和为定值;三相等等号能否取得”.2.在利用基本不等式求不含条件等式的最值时,先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式求最值.对点训
8、练4(1)设x0,则函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值为.(2)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.考向3求含有等式条件的最值问题【例5】(1)若x0,y0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为()A.14B.15C.19D.112(2)(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,
9、有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2.多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.对点训练5(1)(2020江西名校大联考,理11)若x0,y-1且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是()A.3B.32+2C.22D.12+2(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.4考向4基本不等式的实际应用【例6】某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果
10、不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数
11、的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练6为改善实体店经营状况,某童装专卖店拟举行促销活动,经调查,该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t(t0)万元满足x=4-32t+1,已知每年该专卖店的固定投入为7万元,每件童装进价为12元,销售价格定为212x+18元.(1)将该专卖店2020年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该专卖店2020年的年促销费用投入多少万元时,利润最大?1.3等式、不等式的性质与基本不等式必备知识预案自诊知识梳理1.(1)=0,所以MN.故选A.3.D因为a,b,c,dR,且ab,cd,根据不等式的同向可加性,得a+cb
12、+d,故选D.4.D由a,b是正实数,不一定得到a+b2ab,如a=b=1;反之,由a+b2ab,不一定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.5.142a+18b=2a+2-3b22a-3b=22-6=22-3=2-2=14.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,等号成立.关键能力学案突破例1(1)D(2)B(1)a,b(0,1),且ab,则显然有a+b2ab,a2+b22ab.下面比较a2+b2与a+b的大小.由于a,b(0,1),a2a,b2b,a2+b2a+b.故各式中最大的是a+b.(2)(方法1)易知a,b,c都是正数,b
13、a=3ln44ln3=log8164b;bc=5ln44ln5=log62510241,所以bc.故cbe时,函数f(x)单调递减.因为e34f(4)f(5),即cbba(1)ba-b+ma+m=b(a+m)-a(b+m)a(a+m)=m(b-a)a(a+m).因为ab0,m0,所以b-a0,所以m(b-a)a(a+m)0,即ba-b+ma+m0,所以bae时,f(x)0,所以f(x)在(e,+)上单调递减,因为eaf(b),即lnaalnbbblnaalnbabba.例2(1)D(2)C(1)(方法1)根据数轴可得cba|b|a|,对于A:因为cb,a0,所以c+ab,则c+acbb-a,即
14、c+ab-a,故A错误;对于B:因为cba|b|a|,所以c2b2a2,且b2ab,所以c2b2ab,即c2ab,故B错误;对于C:因为ba1a,则cb|a|,且c0,所以|b|c|a|c,故D正确.(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误;cb=54ca=5,故C错误;|b|c=-20b1,所以01a1b,又ccb,选项A错误;当c=-2,a=4,b=3时,cacb,故选项B错误;由于ab1,c0,故acb1,cb-c,故loga(b-c)logb(a-c),选项D错误,故选C.对点训练2(1)A(2)AC(1)(方法1)1a1b0,ba0,a20,ba
15、0,ba+ab2baab=2;a0,a2-ab=a(a-b)0,lga2lgab,故选A.(方法2)不妨设a=-1,b=-2,满足1a1b0.代入验证(-1)22成立,代入lg(-1)2=0b0,得abb2,所以log2(ab)log2b2,故A正确;因为c20,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确;由ab0,两边同乘1b,得ab1,由ab0,两边同乘1a,得bab,函数y=12x为减函数,得12a0,且a+b+c=1,1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)=3+ba+ab+cb+bc+ca+ac3+2baab+2cbbc+2caac=9.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.(2
16、)1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=b+caa+cba+bc2bc2ac2ababc=8abcabc=8.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.对点训练3证明(方法1)a0,b0,a+b=1,1+1a=1+a+ba=2+ba.同理,1+1b=2+ab.1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4=9,当且仅当ba=ab,即a=b=12时,等号成立.1+1a1+1b9,当且仅当a=b=12时,等号成立.(方法2)1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab,a,b为正数,a+b=1,aba+b22=14,当且
17、仅当a=b=12时,等号成立.于是1ab4,2ab8,当且仅当a=b=12时,等号成立.因此1+1a1+1b1+8=9,当且仅当a=b=12时,等号成立.例4(1)B(2)(-,5(1)因为x0,所以函数y=4x2-x+1x=4x+1x-124x1x-1=3.当且仅当4x=1x,即x=12时,等号成立,即函数y取得最小值3.故选B.(2)不等式1sin2+4cos22x-1恒成立,即2x-11sin2+4cos2min,因为1sin2+4cos2=1sin2+4cos2(sin2+cos2)=1+4+cos2sin2+4sin2cos25+2cos2sin24sin2cos2=9,当且仅当co
18、s2=2sin2=23时取得等号.则2x-19,解得x5,故x的取值范围为(-,5.对点训练4(1)9(2)4(1)令x+1=t,则t1,y=(x+5)(x+2)x+1=(t+4)(t+1)t=t2+5t+4t=t+4t+54+5=9,当且仅当t=4t,即t=2,x=1时,等号成立,故最小值为9.(2)a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4,当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24,ab=12时,等号成立,故最小值为4.例5(1)C(2)4(1)由题意知xy2x+y=12y+1x,又x0,y0,x+2y=1,2y+1x=2y+1x(x
19、+2y)=2xy+2yx+522xy2yx+5=4+5=9.当且仅当2xy=2yx,即x=y=13时,等号成立,所以xy2x+y的最大值为19.故选C.(2)ab=1,b=1a.12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令1a+a=t0,则原式=t2+8t2t28t=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.故原式=124+84=4.对点训练5(1)B(2)B(1)2x2+1x+y2y+1=2x+1x+y+1y+1-1=1x+1y+1,因为2x+y+1=2,所以12(2x+y+1)1x+1y+1=123+y+1x+2xy+112(3+2
20、2),当且仅当y+1x=2xy+1,2x+y=1时取等号,即x=2-2,y=22-3时取得最小值32+2.故选B.(2)实数x,y满足x2-xy+y2=1,(x+y)2=3xy+13x+y22+1,化为(x+y)24,可得x+y2,当且仅当x=y=1时取等号.则x+y的最大值为2.例6解(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-2m+1,每件产品的销售价格为1.58+16xx元,所以2021年的利润y=1.58+16xxx-8-16x-m=-16m+1+(m+1)+29(m0).(2)因为m0时,16m+1+(m+1)216=8,所以y-8+29=21
21、,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,ymax=21(万元).故该厂家2021年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.对点训练6解(1)由题意可得:x=4-32t+1,所以y=212x+18x-(7+12x)-t=72+6x-t=72+64-32t+1-t=552-182t+1-t(t0).(2)由(1)可知:y=552-182t+1-t=28-9t+12+t+12,因为9t+12+t+1229t+12(t+12)=6,当且仅当t=2.5时等号成立.则y=28-9t+12+t+1228-6=22,即t=2.5时,y取最大值22.即该专卖店2020年的年促销费用投入2.5万元时,利润最大,为22万元.
