1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式|目 标 索 引|1理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角2会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系3增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识.1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.3三个重要公式(1)向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹
2、角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .1已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则等于()A1 B.0 C.1 D.2解析：(1,1)(3,3)1(3)130.故选B.答案：B2已知a(3,4)，b(2,1)，则a在b上的投影为()A2 B.2 C.2 D.2解析：a在b上的投影为|a|cos|a|2.答案：D3已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x_.解析：ab2x1，x1.答案：1已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.【分析】解答本题可根据a与b共线将a坐标设出
3、，再利用数量积坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(bc)a.【解】(1)a与b同向，又b(1,2)，ab(，2)又ab10，12210，解得20.2符合a与b同向条件a(2,4)(2)bc122(1)0，(bc)a0.【知识点拨】(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充已知a，b的夹角是120，且a(2，4)，则a在b上的投影等于()A B.C2 D.解析：|a|2，a在b上的投影为|a|cos1202，故选B.答案：B(1)已知向量a(1,3)，b(2，6)，|c|，若(ab)
4、c5，则a与c的夹角为()A30 B.45C60 D.120(2)已知a(1,2)，b(x,4)，且ab10，则|ab|_.【解析】(1)ab(1,3)(2，6)(1，3)a，(ab)cac5，ac5，又|a|，设a与c的夹角为，cos，120，故选D.(2)由abx810，x2，ab(1,2)(2,4)(1，2)，|ab|.【答案】(1)D(2)已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为90；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解：设a与b的夹角为.|a| ，|b| ，ab(1,2)(1，)12.(1)ab，ab0，120，.(2)a与b的
5、夹角为钝角，cos0且cos1，ab0且a与b不反向由ab0得120，故0，且cos1，ab0且a，b不同向由ab0得，由a与b同向得2，的取值范围为(2，).如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_【解析】以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，E(，1)，(，0)，(，1)设F(t,2)(0t)，则(t,2)，(t，2)t，t1，则(t，2)(1，2)，(，1)(1，2).【答案】若向量a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则等于(
6、)A B.C D.解析：|a|，|b|1，ab3，由(ab)(a2b)，得(ab)(a2b)a22abba2b213632710，.故选A.答案：A1设a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b| B.abC(ab)b D.ab解析：|a|1，|b|，A错；ab，B错；(ab)babb20，(ab)b，C正确；100，D错，故选C.答案：C2与向量a(4,3)垂直的向量可以是()Ab(8，6) B.b(6，8)Cb(6,8) D.b(8，6)解析：(4,3)(6，8)24240，与a垂直的是(6，8)，故选B.答案：B3若向量a与b的夹角为，a(2,1)，a3b(5,4)，则sin()A. B.C. D.解析：设向量b(m，n)，因为a3b(2,1)3(m，n)(23m,13n)(5,4)，所以得解得即b(1,1)，则cos，所以sin.故选A.答案：A4(2018北京卷)设向量a(1,0)，b(1，m)，若a(mab)，则m_.解析：a(1,0)，b(1，m)，mab(m,0)(1，m)(m1，m)，由a(mab)得a(mab)0，m10，即m1.答案：15设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)(1)试求向量2的模；(2)若向量与的夹角为，求cos.解：(1)(1,1)，(1,5)，所以2(1,7)，所以|2|5.(2)4，|，|，所以cos.