1、2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算|目 标 索 引|1掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件及单位向量的含义2掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间的距离公式，并会运用两个公式解决实际问题.1平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.2单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量如果a的单位向量记作a0(如图)，由数乘向量的定义可知a|a|a0或a0.3轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴(如图)(2)已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一
2、定存在唯一实数x，使axe，x叫做a在l上的坐标(或数量)单位向量e叫做轴l的基向量(3)给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合xe|xR(4)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数4轴上向量的坐标运算(1)轴上的两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设ax1e，bx2e，则abx1x2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e.如果设e是轴l上的一个基向量，的坐标又常用AB表示此时ABe，显然BAe，AB与BA绝对值相等，符号相反，即ABBA0.
3、一般地，有ABBCAC.(3)轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标如图所示，在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，于是得ABAOOBOAOBx2x1.所以数轴上两点A，B的距离公式为|AB|x2x1|.1已知数轴上两点A，B的坐标分别是4，1，则AB与|AB|分别是()A3,3 B.3，3C3,3 D.3，3解析：ABxBxA143，|AB|3，故选A.答案：A2如图所示，已知3，3，则向量与的关系为()A共线B同向C共线且同向D共线、同向，且的长度是的3倍解析：由题意，知，ABAB，3，故选D.答案：D3若ABC中，D为BC的中
4、点，m，则m的值为_解析：D为BC的中点，m2.答案：2设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值【解】(1)证明：3ab2aba2b，a3b2aba2b，A，B，C三点共线(2)若8akb与ka2b共线，则存在实数，使8akb(ka2b)，即8akbka2b，a与b不共线，k4.【知识点拨】利用向量方法证明三点共线：已知三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量a，b，证明存在唯一实数，使ba或ab成立已知非零向量a，b且 a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D B.A，
5、B，CCB，C，D D.A，C，D解析：2a4b2，A，B，D三点共线答案：A已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值；(3)若3，求证：34.【分析】根据数轴上点的坐标，表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明【解】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)证明：证法一：c4，d4，又3，c43(d4)，即c3d16.这时33(dc)3d3c3d3(3d16)12d48，44c(4)4c164(3d16)1612d48，34.证法二：，而3，(3)A4，312
6、.又44(3A)12，故34.【知识点拨】解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x25，BA3；(2)x21，|AB|2.解：(1)BAx1(5)3，所以x18.(2)|AB|1x1|2，所以x11或x13.利用向量证明：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线【分析】利用平行向量基本定理，平行的向量可以写成ab(b0)的形式【证明】如图，M，F分别为AB，CD的中点，且，四边形FAMC为平行四
7、边形，EFNC，DEFDNC.，.同理，.E，N三等分BD.在ABC中，N为边AC上的一点，且3，P为BN上一点满足 m，则实数m的值为_解析：由3，得，B，P，N三点共线，(1)，m.答案：1已知数轴上两点M，N，且|MN|4，若xM3，则xN等于()A1B.2C7D.1或7解析：|MN|3xN|4，3xN4，即xN1或7.答案：D2若点O为ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1等于()A. B. C. D.解析：3e22e1()()2.答案：C3设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，那么与()A相等 B.模相等C同向平行 D.反向平行解析：如图所示：().故与反向平行，故选D.答案：D4已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()Aa B.b C.c D.0解析：ab与c共线，bc与a共线，abc，bca，acca，(1)c(1)a.a与c不共线，10,10，1，1，abc，即abc0.故选D.答案：D5已知a，b是不共线的两个向量，2akb(kR)，ab，2a3b，若P，Q，S三点共线，则k的值是_解析：由题可得3a2b，P，Q，S三点共线，存在实数x，使x，即3a2bx(2akb)，解得k.答案：