1、2.1.4数乘向量|目 标 索 引|1通过实例，理解并掌握向量数乘的定义及其规定2理解两向量共线的含义3掌握向量数乘的运算法则，会应用运算法则进行有关的运算.1数乘向量的定义实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长|a|a|.a(a0)的方向当0或a0时，0a0或00.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小2向量数乘的运算律(1)( a)()a.(2)()aa a.(3)(ab)ab.特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.1两个非零向量a，b，若满足b3a，则下列结论中不正确的是()Aa与b方向相反 B.|a|3|b|C|b|3|a| D.b与a共线答案：
2、B2若，则实数的值为()A. B.C. D.解析：由得，故，故选B.答案：B3化简2a3b(2a2b)(3a4b)_.解析：原式2a2a3a3b2b4b7ab.答案：7ab已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab【解析】由|ab|a|b|，知a与b方向同向，但不一定相等，故存在正实数，使ab，故选D.【答案】D【知识点拨】a与a的关系：是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；当0时，a0，当|1时，有|a|a|，当0|1时，|a|a|.已知线段AB上的两个三等分点为C，D，如图所示：则_，_，_.解析：，2，.答案：2
3、计算下列各式：(1)4(ab)3(ab)；(2)3(a2bc)(2ab3c)；(3)(ab)(2a4b)(2a13b)【分析】.【解】(1)4(ab)3(ab)4a3a4b3ba7b.(2)3(a2bc)(2ab3c)3a6b3c2ab3ca7b6c.(3)(ab)(2a4b)(2a13b)abababab0a0b000.【知识点拨】向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解(1)设a3i2j，b2ij，求ab(2ba)；(2)已知
4、向量a，b，且5x2ya,3xyb，求x，y.解：(1)原式abab2baab(3i2j)(2ij)i5j.(2)由得如图，已知和是不共线向量，t(tR)，试用，表示.【分析】由t(tR)知A，B，P三点共线，而，然后用表示，进而建立，的联系【解】tt()(1t)t.【知识点拨】用已知向量表示未知向量，也就是向量的线性表示解决这类问题关键是结合平面几何知识灵活运用向量加法、减法和数乘的几何意义本例中当t，即时，P为AB的中点，这就是线段中点的向量表达式，以后会经常用到，应牢记设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A2 B.3C2 D.3解析：由得()，(1)，3，故选B.答案：B1下列命
5、题中正确的有()(5)(6a)30a；7(ab)6b7a13b；若amn，b3(mn)，则a与b共线；(a5b)(a5b)2a，则ab.A1个 B.2个C3个 D.4个解析：正确答案：C2点C在线段AB上，且，则等于()A. B.C D.答案：D3(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.解析：根据向量的运算法则，可得()，所以，故选A.答案：A4设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：由2，可知P为AC的中点，0，故选B.答案：B5若M是三角形ABC的重心，则下列各向量中与共线的是()A. B.C. D.3解析：3()0；与共线，故选C.答案：C
