1、22.2 对数函数及其性质第一课时 对数函数的图象及性质对数函数的概念提出问题在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x年，该物质的剩留量为y0.84x.问题1：经过多少年这种物质的剩留量为0.5?提示：0.84x0.5xlog0.840.5.问题2：若经过y年的剩留量为x，能用x表示y吗？提示：能ylog0.84x.问题3：“问题2”的等式中y是x的函数吗？提示：是，符合函数的定义导入新知对数函数的定义函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是ylogax(a0，且a1)(0，)化解疑难对数函数概念的注意点(1)对数函数的概念与
2、指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：y2log2x，ylog5x5 都不是对数函数，可称其为对数型函数(2)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，)(3)对数函数对底数的限制：a0，且a1.对数函数的图象和性质提出问题问题1：试作出ylog2x和ylog12x的图象提示：如图所示：问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？提示：交点坐标为(1,0)问题 3：两函数单调性如何？提示：ylog2x是增函数，ylog 12x是减函数问题4：函数y2x与ylog2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？提示：图象关于直线yx对称，定义域和值
3、域互换导入新知1对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：_值域：R过点，即当x1时，y0在(0，)上是_在(0，)上是_(0，)(1,0)增函数减函数2对数函数与指数函数的关系指数函数和对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数yax化解疑难a 对对数函数的图象的影响(1)底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a1 时，对数函数的图象“上升”；当 0a1 还是 0a0，且 a1)的图象关于 x 轴对称对数函数的概念例1 判断下列函数是不是对数函数，并说明理由ylogax2(a0，且a1)；ylog2x1；y2log8x；ylogxa(x0，且x1)；ylog5
4、x.解 中真数不是自变量x，不是对数函数；中对数式后减1，不是对数函数；中log8x前的系数是2，而不是1，不是对数函数；中底数是自变量x，而非常数a，不是对数函数为对数函数类题通法判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件：系数为1；底数为大于0且不等于1的常数；对数的真数仅有自变量x.活学活用函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_.解析：a2a11，解得a0或1.又a10，且a11，a1.答案：1对数函数的图象例2(1)函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点_(2)如图所示的曲
5、线是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_解析(1)因为函数ylogax(a0，且a1)的图象恒过点(1,0)，则令x11得x0，此时yloga(x1)22，所以函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点(0，2)(2)由图可知函数ylogax，ylogbx的底数a1，b1，函数ylogcx，ylogdx的底数0c1,0da1dc.答案(1)(0，2)(2)ba1dc类题通法1对数函数图象过定点问题求函数ymlogaf(x)(a0，且a1)的图象过的定点时，只需令f(x)1求出x，即得定点为(x，m)2对数函数图象的判
6、断根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小活学活用已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象只能是()解析：法一：若0a1，则函数yax的图象上升且过点(0,1)，而函数yloga(x)的图象下降且过点(1,0)，只有B中图象符合法二：首先指数函数yax的图象只可能在上半平面，函数yloga(x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，yax与yloga(x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合答案：B 与对数函数有关的定义域问题例3 求下
7、列函数的定义域：(1)ylog5(1x)；(2)ylog1x5；(3)y1lgx13；(4)y loga4x3(a0，且a1)解(1)要使函数式有意义，需1x0，解得x1，所以函数ylog5(1x)的定义域是x|x0，1x1，解得x1，且x0，所以函数ylog1x5的定义域是x|x0，log2x0，解得x0，且x1.函数y 1log2x的定义域是x|x0，且x1(2)要使函数式有意义，需x30，lgx30，即x30，x31，解得x4.所求函数的定义域是x|x4(3)要使函数式有意义，需164x0，解得x2.所求函数的定义域是x|x0，x10，x11，解得1x3，且x2.所求函数的定义域是x|1
8、x0，0u4.又ylog 12u在(0，)上是减函数，log 12ulog 1242，ylog 12(32xx2)的值域为y|y2随堂即时演练解析：要使函数有意义，应满足x20，log2x20，即x2，x21，解得x2且x3.答案：C 1函数y1log2x2的定义域是()A(，2)B(2，)C(2,3)(3，)D(2,4)(4，)解析：因为a1，所以ylogax为增函数，且函数图象过定点(1,0)，故排除C，D.又因为1a1时，函数ylogax和y(1a)x的图象只能是()3已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为_解析：设f(x)logax，则由f(2)loga24，得a42，a4 2，f(x)log 4 2x.答案：f(x)log 4 2x4函数f(x)ax2loga(x1)1(a0，a1)的图象必经过点_解析：当x2时，f(2)a0loga112，所以图象必经过点(2,2)答案：(2,2)5已知函数f(x)log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)f(2)，利用图象求a的取值范围解：(1)作出函数ylog3x的图象如图所示(2)令f(x)f(2)，即log3xlog32，解得x2.由图象知：当0a2时，恒有f(a)f(2)所求a的取值范围为a|0a2课时跟踪检测见课时达标检测(十八)
