1、第43课 圆的方程一、考纲要求1掌握圆的标准方程和一般方程，理解方程中字母的实际意义；2能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。注重数形结合。3会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。二、知识梳理回顾要求1 阅读教材第107页110页,了解以点为圆心，为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。2 方程表示圆的充要条件是什么，其中圆心半径分别是什么标准方程和一般方程怎么转化3 对于书中第107页，能否看出推导标准方程的步骤。4 对于教材的例3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。要点解析1、 以
2、点为圆心，为半径的圆标准方程，的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程2、 二元二次方程表示圆的充要条件是，圆心，半径3、 先建立平面直角坐标系，设点，列出关系式再化简得出。4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到圆的标准方程。【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评题1、若
3、方程表示圆，则实数m的取值范围为 ；若方程表示圆，则实数a的值为 。【分析与点评】（1）强调二元二次方程表示圆的充要条件是； （2）弄清：为什么二元二次方程表示圆的充要条件是?加深对方程与曲线的关系的理解。（3）方程如何转化成方程？答案： 或；-1。题2、已知两点的坐标分别为，则以为直径的圆的标准方程为 【分析与点评】试题分析：以为直径的圆的圆心为中点，即，又，所以圆的半径为，则圆的标准方程为答案： 4、 题3方程表示的曲线是 【分析与点评】重点探讨思路的选择：（1）化简这个式子首先做什么，平方。平方前需要注意x的范围（2）化简后的式子为，表示圆，但加上x的范围只能是圆的一部分。题4点在圆的内
4、部，那么实数的取值范围是 。【分析与点评】强调判断点与圆的位置关系的依据：与的大小关系。将位置关系的判断（定性）转化为大小的比较（定量）。【备用】：（1）过点可以向圆引两条切线，求实数的取值范围；（2）已知实数满足，求的取值范围。3、要点归纳（1）强化对圆的方程形式特征的理解；（2）强调求圆的方程的方法的选择；（3）要重视圆的几何性质的应用。四、范例导析例1、分别求满足下列条件的圆的方程。（1）已知圆过两点，且它的圆心在直线上；（2）经过三点；（3）已知圆C：，直线，求圆C关于直线对称的圆的方程。【教学处理】可让学生板演，结合板演提问学生，再交流讨论，然后教师点评；通过点评或板书总结求圆的方程
5、的一般方法。【引导分析与精讲建议】1、第（1）题可以引导学生从以下几个角度思考： （1）设一般方程，将坐标代入，再将圆心坐标代入直线方程，求； （2）设圆心，利用几何性质，建立方程求； （3）交轨法找圆心：求线段的中垂线与直线的交点，得圆心。 总之，设方程，设圆心，找圆心是求圆的方程的常用方法。2、第（2）题分析时，提出以下问题：问题1：本题宜选择什么形式的方程求解？（强调方程形式的选择，已知三点，宜选择一般方程。）问题2：画个图看看，还可以怎么做？引导学生发现圆心在直线上，可以设圆心为，列方程求；也可以通过交轨法找圆心。（强调画图意识，要善于捕捉题中隐含的几何信息。）3、第（3）题分析时，提
6、出以下问题问题1：如何将曲线关于直线的对称问题转化为点关于直线的对称问题。问题2：圆关于直线的对称的曲线仍然是圆，只有圆心位置发生了改变，圆的大小并没有发生改变。解决方案：（3）圆C的圆心C（-2，6），半径为1；设圆D和圆C关于直线对称，则有：，解得：，则所求的方程为： 【说明】:教师要有意识地引导学生挖掘图形的几何信息，培养简化运算的意识。例2 已知动点M到点的距离等于M到点的距离的倍.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若直线与轨迹C没有交点，求的取值范围；【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。【引导分析与精讲建议】试题分析：注意
7、把握求轨迹方程的四步曲，建系、设点、列式、化简，本题建系就省了，注意求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为，根据题意，列出等量关系式，化简即可，对于第二问，注意考查的是圆与直线的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断。解：（1）设，则， 整理得，即动点M的轨迹C的方程为. （2）由，消去并化简得 因为直线与轨迹C没有交点，所以 即，解得【变式】：已知圆与轴交于两点，是该圆的内接三角形，求圆的方程。【点评】：这里变式中给出的角是圆周角，可以转化为圆心角，仍然可转化为半径、半弦、弦心距之间的关系，只是更具一般性。例3 已知点在圆上。 （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小
8、值。 (3)求的范围【教学处理】指导学生从最值问题的常规方法角度独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】第（1）小题可以提出以下问题：问题1：二元表达式的最值问题可以尝试消元，转化为函数问题，本题可以实施吗？问题2：二元表达式的最值问题还可以转化为线性规划问题，本题如何实施？问题3：问题化归：设，与圆的方程联立方程组，利用方程组有解的条件，建立不等关系，求最值。问题4： 能不能从几何意义的角度思考：具有什么几何意义？第（2）小题应该以第（1）小题的探究为基础，对方法的选择进行探讨，可以尝试提出以下问题：（1）若尝试第（1）问的方法（1），建立函数，如何求解？（2）模仿
9、第（1）问的方法（3），构建不等关系如何实施？（3）从表达式的几何意义，从图形入手，怎么求的取值范围？【变式】：已知实数满足 求：（1）的取值范围； （2）的取值范围【点评】：二元函数的值域的主要解法是消元转化为一元函数的值域问题，但为了简化运算，也要适时从数形结合的角度思考，充分挖掘表达式的几何意义。五、当堂反馈1、直线平分圆的周长，则_。【分析与点评】直线平分圆的周长，即直线过圆心，解得。2、已知点在圆上，点关于直线的对称点也在圆上，则圆的圆心坐标为_，半径为_. 【分析与点评】点关于直线的对称点也在圆上，说明直线过圆心，解得，且点在圆上，代入解得，所以圆心坐标为，半径为。3若方程表示圆心在第四象限的圆，则实数的范围为 .【分析与点评】试题分析：由方程可得，因为圆心在第四象限，则有，解得.答案： 4、已知圆,点 ,点是上任意一点，则的值域为_.【分析与点评】由平行四边形性质知作图可见的最大值是6，最小值是2，所以的值域为.六、解题反思1、待定系数法是求圆的方程的主要方法，求圆的方程关键是建立方程，求基本量a，b，r或D，E，F。2、要注意选择适当的方程形式，探究合理的运算路径。3、在解题过程中一定要有“图”的意识，要充分挖掘图形的几何性质，帮助简化运算。4、以圆为背景的二元函数的值域问题，要充分考虑圆在解题中的桥梁作用，要研究目标函数的几何意义，化归为斜率或距离。