1、专题一带电粒子在磁场、复合场中的运动课题任务带电粒子在有界磁场中的运动1带电粒子在几种常见的有界磁场中的运动规律(1)直线边界磁场：如图所示，粒子进出磁场具有对称性，且粒子以多大的锐角射入磁场，就以多大的锐角射出磁场；粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时，出射点距离入射点最远，且dmax2R，如图甲所示；同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个“优弧”，一个“劣弧”，如图乙、丙所示。(2)平行边界磁场：常见的临界情景和几何关系如图所示。(3)矩形边界磁场：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。(4)三角形边界磁场：如图所示是正ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意
2、图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。(5)圆形边界磁场带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点：若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)，如图甲所示。若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为，如图乙所示。2解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意运用下列结论：(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹
3、与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。(3)当比荷相同、速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子轨迹所对圆心角越大，运动时间越长。例1如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，C、D是水平线与圆周的交点，且CDR，AO是水平半径。甲、乙两粒子从A点以不同速度沿AO方向同时垂直射入匀强磁场中，甲、乙两粒子恰好同时分别击中C、D两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则甲、乙两粒子的速度之比为()A. B. C. D.规范解答由题意知甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，则甲粒子运动轨迹所对圆心角AO1C120，乙粒
4、子运动轨迹所对圆心角AO2D60，由运动时间tT相同及周期T知，甲、乙两粒子的比荷满足。由图知甲、乙两粒子运动的半径分别为r甲R、r乙R。由洛伦兹力提供向心力得qvBm，则v，即v，所以甲、乙两粒子的速度之比为，D正确。完美答案D模型点拨处理临界极值问题的常见方法(1)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射方向所在直线为切线，入射点为切点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情景。(2)定圆旋转法：当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定
5、，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情景。(3)定圆平移法：速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直直线边界进入匀强磁场，各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图所示)。如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。那么下列说法中正确的是()
6、A若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0B若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为C若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为D若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为答案C解析如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹、从bc边射出的临界轨迹、从cd边射出的轨迹和从ad边射出的临界轨迹。由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图可知，从ab边射出经历的时间一定不大于；从bc边射出经历的时间一定不大于；从cd边射出经历的时间一定是；从ad边射出经历的时间一定不大于。故C正确。课题任务
7、带电粒子在磁场中运动的多解问题1带电粒子电性不确定形成多解如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。2磁场方向不确定形成多解题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向。如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。3临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射界面反向飞出，如图所示，于是形成了多解。许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗
8、示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的信息，找出临界条件。4运动的周期性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。例2如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一群正离子在t0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：(1)磁感应强度
9、B0的大小；(2)要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值。规范解答(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力qv0B0做匀速圆周运动的周期T0联立两式得磁感应强度B0。(2)要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场，离子到达O时必须经过整数个周期。如图所示，正离子在两板之间只运动一个周期即T0时，有r，当正离子在两板之间运动n个周期，即nT0时，有r(n1,2，3)。与式联立求解，得正离子的速度的可能值为v0(n1,2，3)。完美答案(1)(2)(n1,2,3)模型点拨求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。(2)作出粒子运
10、动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。(3)若为周期性重复的多解问题，应寻找通项式；若可能出现几种解，应注意每种解出现的条件。(多选)长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间的距离为L，板不带电，一质量为m、电荷量为q带正电的粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是()A使粒子的速度v0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在yv，A错误；微粒在第象限运动的时间tT，B正确；在第象限，微粒做圆周运动，则有mgqE，由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由d知，不能求出磁感应强度大小，C、D错误
11、。完美答案B模型点拨带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法此外，要注意分析题中的隐含条件，比如带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做圆周运动，则带电粒子所受的重力和静电力的合力为零，该圆周运动为匀速圆周运动，洛伦兹力提供粒子做该匀速圆周运动的向心力。如图所示，在xOy坐标系第象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为B1.0 T；电场方向水平向右，电场强度大小为E N/C。一个质量m2.0107 kg、电荷量q2.0106 C的带正电粒子从x轴上P点以速度v0射入第象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动。0.10 s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取
12、g10 m/s2。求：(1)带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v0的大小和方向；(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向；(3)若粒子做匀速圆周运动时未离开第象限，x轴上入射点P应满足什么条件？答案(1)2 m/s方向斜向上与x轴正方向夹角为60(2)1.0 N/C方向竖直向上(3)P点离O点的距离至少为0.27 m解析(1)粒子在叠加场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零。根据平衡条件可知粒子所受洛伦兹力的方向如图所示，则v0垂直于F洛斜向上。重力mg2.0106 N，静电力F电qE2106 N，故洛伦兹力F洛4.0106 N，由F洛qv0B得v02 m/s
13、，设v0与x轴正方向的夹角为，则tan，60。(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，静电力必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力。故电场强度E1.0 N/C，方向竖直向上。(3)如图，带电粒子做匀速圆周运动恰好未离开第象限，圆弧左边与y轴相切于N点；粒子在PQ段做匀速直线运动，PQv0t0.2 m，洛伦兹力提供向心力，qv0Bm，代入数据得R0.2 m。由几何知识得OPRRsin60PQcos600.27 m，则x轴上入射点P离O点的距离至少为0.27 m。1(多选)如图所示，长均为d的两正对平行金属板MN、PQ水平放置，板间距离为2d，板间有正交的匀强电场和匀强磁场，一带电粒子从MP的中
14、点O垂直于电场和磁场方向以v0射入，恰沿直线从NQ的中点A射出；若撤去电场，则粒子从M点射出(粒子重力不计)。以下说法正确的是()A该粒子带正电B该粒子带正电、负电均可C若撤去磁场，则粒子射出时的速度大小为2v0D若撤去磁场，则粒子射出时的速度大小为v0答案AD解析若撤去电场，则粒子从M点射出，根据左手定则知该粒子带正电，故A正确，B错误。设粒子的质量为m，电荷量为q，则粒子沿直线通过场区时：Bqv0Eq；撤去电场后，在洛伦兹力的作用下，粒子做圆周运动，由几何知识知r，洛伦兹力提供向心力：qv0B，可解得E。撤去磁场，粒子做类平抛运动，设粒子的加速度为a，穿越电场所用时间为t，则有Eqma，y
15、at2，dv0t，联立解得yd；设末速度为v，由动能定理知mv2mvEqyqEd，解得vv0，知C错误，D正确。2(2017全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2v1为()A.2 B.1 C.1 D3答案C解析相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60(对应六分之一
16、圆周)的弦PP必为垂直该弦入射的粒子运动轨迹所在圆周的直径，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP对应的圆弧内。同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知r2 R，可得r2r11。因为m、q、B均相同，由公式r可得vr，所以v2v11。故选C。3(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是()A该微粒一定带负电荷B微粒从O到A的运动可能是匀变速运动C该磁场的磁感应
17、强度大小为D该电场的场强为答案AC解析若该微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB，可知微粒不能做直线运动，据此可知该微粒一定带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线从O运动到A，可知微粒应做匀速直线运动，则A正确，B错误；由平衡条件得cos，tan，得该磁场的磁感应强度B，该电场的场强E，故C正确，D错误。4(多选)如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动
18、摩擦因数为，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中()A小球的加速度一直减小B小球的机械能和电势能的总和保持不变C下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是vD下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v答案CD解析对小球受力分析如图所示，开始时，有mg(qEqvB)ma，随着v的增加，小球加速度先增大，当qEqvB时达到最大值，amaxg，继续运动，mg(qvBqE)ma，随着v的增大，a逐渐减小，故A错误；因为有摩擦力做功，则小球的机械能与电势能总和减小，故B错误；若在前半段达到最大加速度的一半，则mg(qEqvB)，得v，若在后半段达到最大加速度的一半，则mg(qvBqE)，得v
19、，故C、D正确。5(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，A60，AOa。在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0，发射方向由图中的角度表示。对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是()A粒子有可能打到A点B以60飞入的粒子在磁场中运动时间最短C以30飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等D在AC边界上只有一半区域有粒子射出答案AD解析根据Bqv0，可知粒子的运动半径Ra，因此当60时，粒子恰好从A点飞出，故A正确；以0飞入的粒子，在磁场中恰好从AC中点飞出，所对弦长为a，以入射点
20、O为定点，从0开始旋转轨迹圆，可知轨迹圆的弦长从a开始减小，直到当30时弦垂直于AC达到最小，接着又开始增大，60时弦长为a，然后逐渐减小到零，根据弦长越长弧长越长，而弧长正比于在磁场中的运动时间，可知从0到60粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故B、C错误；因为以0飞入的粒子恰好从AC中点飞出，且轨迹圆与AC中点右侧边界相交，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确。6如图所示，一束带负电的粒子(质量为m、电荷量为e)从A点以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中。若粒子的速度大小可变，方向不变，要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过多少？
21、答案解析解答此题时可从动态圆模型角度思考，通过画出几个粒子速度大小不同时的轨迹圆弧，从而得到临界轨迹圆弧，如图所示。粒子运动轨迹与磁场的右边界相切时，由几何关系可知：Rd，又evB，联立解得v，即粒子的速度最大不能超过。7如图所示，宽度为l0.8 m的某一区域存在相互垂直的匀强电场E与匀强磁场B，其大小E2108 N/C，B10 T。一带正电荷的粒子以某一初速度由M点垂直电场和磁场方向射入，沿直线运动，从N点离开；若只撤去磁场，则粒子从P点射出且速度方向发生了45的偏转，求粒子的比荷(不计粒子的重力)。答案2.5106 C/kg解析设粒子的初速度为v0，粒子在叠加场中做直线运动时受力平衡，根据
22、平衡条件，qEqv0B。当只撤去磁场后，粒子在电场中做类平抛运动，由题意，lv0t，vyt，tan451，联立以上各式得2.5106 C/kg。8如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度皆为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角30。MC的边长为a，MN的边长为8a，不计粒子的重力。求：(1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中运行的时间至少是多少？答案(1)(2)解析(1)画出该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨
23、迹如图，设其半径为r，由几何关系得rcos60ra，解得ra。又由qvmBm，解得最大速度为vm。(2)参照上图，当粒子的轨迹半径为Rr时，由几何关系可知，粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为2Rsin60R。设粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点，有nR8a，且Ra，联立解得n4.62，故n所能取的最小自然数为5。粒子做圆周运动的周期为T，粒子每经过PQ分界线一次所用的时间为tT，粒子到达Q点时在磁场中运动的最短时间为tmin5t，联立以上几式解得tmin。9如图所示，在矩形ABCD内，对角线BD以上的区域存在平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在垂直于纸面的
24、匀强磁场(图中未标出)，其中AD边长为L，AB边长为 L，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，经对角线BD上的P点垂直BD进入磁场。求：(1)该粒子进入磁场时速度的大小；(2)电场强度的大小；(3)要使该粒子能从磁场返回电场，磁感应强度应满足什么条件？(结论可用根式来表示)答案(1)2v0(2)(3)若磁场方向向外，B1；若磁场方向向里，B2解析(1)如题图所示，由几何关系可得BDC30，带电粒子受静电力作用做类平抛运动。离开电场的速度垂直BD，可得vxv0，vyv0，则v2v0。(2)设BP的长度为x，则有xsin30t1，Lxcos30v0t1。Eqma，vyat1解得x，t1，E。(3)若磁场方向向外，临界轨迹与DC相切，轨迹半径为R1，如图甲所示。有R1，解得R1；而B1qvm，联立得B1。故磁场方向向外时，要使粒子返回电场，则B1。若磁场方向向里，临界轨迹与BC相切时，轨迹半径为R2，如图乙所示。有R2，解得R2，而B2qvm，联立得B2。故磁场方向向里时，要使粒子返回电场，则B2。