1、2排序不等式1了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题2体会运用经典不等式的一般思想方法1定理1设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么_adbc，此式当且仅当_(或cd)时取“”号【做一做1】若0a1a2,0b1b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2 Ca1b2a2b1 D2(1)顺序和、乱序和、逆序和：设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1b2b3，则a1b1a2b2a3b3a1bj1a2bj2a3bj3_，其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式上式当且仅当a1a2a3(或b1
2、b2b3)时取“”号通常称a1b1a2b2a3b3为_，a1bj1a2bj2a3bj3为_，a1b3a2b2a3b1为_(倒序和)(2)定理2(排序不等式)：设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)_(乱序和)_(逆序和)_其中j1，j2，jn是1,2,3，n的任一排列方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号【做一做2】设a1，a2，an是n个互不相等的正整数，求证：a1答案：1acbdab【做一做1】Aa1b1a2b2a1b2a2b1(a1a2)(b1b2)1，a1b1a2b2a1b2a2b1(a1a2)(b1b2)0，a1b1a2b2a1b2a2b1，且a
3、1b1a2b2a1b2a2b1又1a1a22，a1a20a1a2，a1a2同理b1b2，a1a2b1b2，a1b1a2b2a1a2b1b2，a1b1a2b2最大2(1)a1b3a2b2a3b1顺序和乱序和逆序和(2)a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjna1bna2bn1anb1【做一做2】分析：利用排序不等式来证明证明：设b1，b2，bn为a1，a2，an的一个排列，且b1b2bn，因为b1，b2，bn是n个互不相等的正整数，故b11，b22，bnn又1，由排序不等式，得a1b1112n1，a11对排序不等式的证明的理解剖析：对排序不等式的证明中，用到了“探究猜想检验证明”的
4、思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的2排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法
5、，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题题型一所含字母大小顺序已确定的不等式的证明【例1】已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2)分析：由于题目条件中已明确abc，故可以直接构造两个数组反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关键和基础题型二对所证不等式中的字母的大小先作出假设再证明【例2】设a，b，c为正数，求证：分析：题目中没有给出a，b，c的大小关系，且a，b，c在不等式中的地位是对等的，要先设出a，b，c的大小顺序，再利用排序不等式加以证明反思：当假设了abc后，所用的两个数组可以完全确定
6、了，但必须注意成立的前提是a，b，c三者的地位是对等的题型三不等式中的字母的大小需讨论【例3】设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn分析：题中只给出了x0，但是对于x1，x1并不确定，因此，我们需要分类讨论反思：分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序关系答案：【例1】证明：(1)ab0，于是，又c0，0从而同理，bc0，于是，又a0，0于是得从而(2)由(1)，和顺序和乱序和，得又a2b2c2，综上，原不等式成立【例2】证明：设abc0abcacbabc0，由排序不等式：顺序和乱序和，得，将上面两个不等式相加再除以2，得当且仅当abc时取“”号【例3】证明：(1)当x1时，1xx2xn，
7、由排序不等式：顺序和逆序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn又因为x，x2，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序不等式：乱序和逆序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，得xx3x2n1xn(n1)xn将和相加，得1xx2x2n(2n1)xn(2)当0x1时，1xx2xn仍然成立，于是也成立综合(1)(2)，原不等式成立1已知a，b，cR，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是()Aa3b3c3a2bb2cc2a Ba3b3c3a2bb2cc2aCa3b3c3a2bb2cc2a Da3b3
8、c3a2bb2cc2a2设a，b，c都是正数，M，Nabc，则M，N的大小关系是()AMN BMN CMN DMN3已知a，b，x，yR，且，xy，则_(填“”或“”)4已知a，b，c为正数，求证：abc答案：1B根据排序不等式，取两组数a，b，c和a2，b2，c2不妨设abc，所以a2b2c2所以a2ab2bc2ca2bb2cc2a当且仅当abc时取“”号2A由题意不妨设abc0，则abacbc，由排序不等式，知abacbcabacbc，即MN当且仅当abc时等号成立3，ba0，又xy0，由排序不等式，知bxay0，4证明：根据所证明的不等式中a，b，c的“位置”的对称性，不妨设abc0，则，bccaab由排序不等式：顺序和乱序和，得，即abca，b，c为正数，abc0，abc0于是abc