1、广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1设集合Ax|x22x30，Bx|log2x1，则AB（）A（1，2）B（1，3）C（2，3）D（1，+）2“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.28x+a，则a的值为（）A0.16B1.6C0.06D0.83“m0”是“函数f（x）lnxmx在（0，1上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件
2、C充分必要条件D既不充分也不必要条件4地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为：Mlg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E104.8101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的10
3、0.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A101.35EB1.35EC100.9ED90E5已知三角形ABC的边长分别为AB3，AC4，BC5，3，则（）A1BC3D6设O为坐标原点，F为抛物线C：x28y的焦点，P为C上一点，若|PF|6，则POF的面积为（）A2B4C4D47已知数列an满足3an2an1an+1，且a10，a62021，则a2（）ABCD8在三棱锥ABCD中，AB2，ABCACD60，E、F分别为BC、AD的中点，且EFBC，EFAD，BCAD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）ABCD二、选择题（共4小题）.9给出如下数据：第一组：3，1
4、1，5，13，7，2，6，8，9第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18则这两组数据的（）A平均数相等B中位数相等C极差相等D方差相等10已知函数f（x）sinx和g（x）cosx，则下列正确的是（）Af（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到Bx（，）时，|g（x）|f（x）|Ch（x）f（x）+g（x）的对称轴方程为：x+k（kZ）D若动直线xa与函数f（x）sinx和g（x）cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球
5、”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）（x3）8，则（）Af（x）的展开式中的常数项是56Bf（x）的展开式中的各项系数之和为0Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是70Df（i）16，其中i为虚数单位12已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为yx，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A双曲线的方程为1B2C|3D点P到x轴的距离为三、填空题：本大题
6、共4小题，每小题5分，共20分131748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式eixcosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：ei+1 14写出一个对称中心为（，0）的函数f（x） 15在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB120cm，AE100cm，EF80cm，FC60cm，AEFCFE60，则该矩形ABCD的面积为 cm2（答案如有根号可保留）16已知x0，f（x）x2+ex，g（x）（m2+1）x+lnx，若f（x）g（x）恒成立，则实数m的取值范围是 四、解答题：共70分。解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤17在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB，且ABC外接圆的半径为1在b+c3，sinC2sinB，角B的平分线交AC于点D且CD：AD：2请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求角A和ABC的面积18已知等差数列an的前n项和为Sn，S990，a1020，数列bn满足b16，bn+13bn4n，Tn为数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bnan1为等比数列；（3）若Tn3690恒成立，求n的最小值19如图，四棱锥PABCD中，PA矩形ABCD，其中AD2，AB1，P
8、A，点E为矩形ABCD的边BC上一动点（1）F为线段PD上一点，|PD|3|DF|，是否存在点E，使得EF平面PAB，若存在，请求出CE的长，若不存在，请说明理由；（2）若DEPE，求直线PC与平面PED所成角的余弦值20茂名市是著名的水果之乡，“高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理（1）若商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n份（nN*）的函数解析式（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量（单位：份），整理得图若商
9、铺计划一天准备170份或180份这种产品，用X表示准备170份的利润，Y表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由（以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率）21已知点N为圆C1：（x+1）2+y216上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2（1）求点M的轨迹方程；（2）过点A（2，0）且斜率为k（k0）的直线与点M的轨迹交于A，G两点，点H在点M的轨迹上，GAHA，当2|AG|AH|时，证明：k222已知函数f（x）mlnx+cos（x+），g（x）f（x）xcos（x+）（1）当x1时，若不等式g（x）ex1
10、x1恒成立，求实数m的取值范围；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，使得f（x1）+x1f（x2）+x2，证明：2m参考答案一、选择题（共8小题）.1设集合Ax|x22x30，Bx|log2x1，则AB（）A（1，2）B（1，3）C（2，3）D（1，+）解：Ax|1x3，Bx|x2，AB（1，+）故选：D2“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.28x+a，则a的值为（）A0.16B1
11、.6C0.06D0.8解：由题意可知，因为线性回归方程过点（），所以有10.283+a，故a0.16故选：A3“m0”是“函数f（x）lnxmx在（0，1上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：若f（x）lnxmx在（0，1上为增函数，则f（x）m0在（0，1上恒成立，即m，m1，（，0（，1，m0是f（x）lnxmx在（0，1上为增函数的充分不必要条件故选：A4地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为：Mlg（其
12、中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E104.8101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A101.35EB1.35EC100.9ED90E解：设玉树地震最大振幅为Amax，则汶川地震最大振幅为100.9Amax，M玉树lg，M汶川lg0.9
13、+lg0.9+M玉树，E玉树104.8，E汶川104.8104.8101.50.9E玉树101.35101.35E，故选：A5已知三角形ABC的边长分别为AB3，AC4，BC5，3，则（）A1BC3D解：三角形ABC的边长分别为AB3，AC4，BC5，3，A90，（）（）（+（）（）（+）（）42032，故选：D6设O为坐标原点，F为抛物线C：x28y的焦点，P为C上一点，若|PF|6，则POF的面积为（）A2B4C4D4解：由抛物线方程得准线方程为：y2，焦点F（0，2），又P为C上一点，|PF|6，可得yP4，代入抛物线方程得：|xP|4，SPOF|OF|xP|4故选：B7已知数列an满足
14、3an2an1an+1，且a10，a62021，则a2（）ABCD解：由题意3an2an1an+1，可得an+1an2（anan1），若anan10，则a6a5a10，与题中条件矛盾，anan10，a2a1a2，数列an+1an是以a2为首项，2为公比的等比数列，an+1ana22n1，a6a5+a5a4+a2a1，a631a2，故选：A8在三棱锥ABCD中，AB2，ABCACD60，E、F分别为BC、AD的中点，且EFBC，EFAD，BCAD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）ABCD解：连结AE，DE，BF，CF，如图所示，因为BCEF，BCAD，又EFADF，EF，AD平面AED，
15、所以BC平面AED，又AE，DE平面AED，所以BCAE，BCDE，又因为E为BC的中点，所以ABAC，DBDC，同理可得，ABBD，ACCD，又因为ABCACD60，所以ABC和ADC都是等边三角形，故ABBDACCDBCAD，则三棱锥ABCD是正四面体，取CF的中点G，连结EG，则EGBF，所以GED为直线BF与DE所成的角（或其补角），因为AB2，所以EG，在EGD中，由余弦定理可得，所以异面直线BF与DE所成角的余弦值为故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9给出如下数据：第一组：
16、3，11，5，13，7，2，6，8，9第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18则这两组数据的（）A平均数相等B中位数相等C极差相等D方差相等解：对于A，第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为，所以两组数据的平均数不相等，故选项A错误；对于B，第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B错误；对于C，第一组数据的极差为13211，第二组数据的极差为221111，所以两组数据的极差相等，故选项C正确；对于D，第一组数据的方差为（3）2+（11）2+（5）2+（13）2+（7）2+（2）2+（6）2+（8）2+（9）24.112+3.
17、892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，第二组数据的方差为（12）2+（20）2+（14）2+（22）2+（16）2+（11）2+（15）2+（17）2+（18）24.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，所以两组数据的方差相等故选：CD10已知函数f（x）sinx和g（x）cosx，则下列正确的是（）Af（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到Bx（，）时，|g（x）|f（x）|Ch（x）f（x）+g（x）的对称轴方程为：x+k（kZ）D若动直线xa与函数f（x）si
18、nx和g（x）cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为解：函数f（x）sinx和g（x）cosx，函数f（x）sinx的图象由函数g（x）cosx的图象向右平移个单位，得到ycos（x）sinx的图象，故A正确；对于B：函数|f（x）|sinx|和|g（x）|cosx|，当时，如图所示：故B正确；对于C：h（x）f（x）+g（x）sinx+cosx，令（kZ），解得x（kZ），故C正确；对于D：若动直线xa与函数f（x）sinx和g（x）cosx的图象分别交于M，N两点，故|MN|sinxcosx|sin（x）|，当xk（kZ）时，|MN|的最大值为，故D正确；故选：ABCD11
19、传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）（x3）8，则（）Af（x）的展开式中的常数项是56Bf（x）的展开式中的各项系数之和为0Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是70Df（i）16，其中i为虚数单位解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的体积，球的体积，可得m，圆柱的表面积，球的表面积为，则n，可得f（x）（x3）8（x3
20、）8，其二项展开式的通项为，令244r0，得r6，常数项为，故A错误；各项系数和为f（1）0，故B正确；二项式系数的最大值为，故C正确；f（i），故D错误故选：BC12已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为yx，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A双曲线的方程为1B2C|3D点P到x轴的距离为解：渐近线l的方程为yx，F1（c，0）到l的距离为3，3b，a3，双曲线的标准方程为1，即选项A正确；c6，F1（6，0），F2（6，0），由角分线定理知，2，即选项B正确；由
21、双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a6，|PF1|12|F1F2|，|PF2|6，在等腰PF1F2中，cosPF2F1，sinPF2F1，xP|OF2|PF2|cosPF2F166，yP|PF2|sinPF2F16，即选项D正确；|OP|3，|+|2|2|OP|6，即选项C错误故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分131748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式eixcosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：ei+10解：因为公式eixcosx+isinx，所以ei+1c
22、os+isin+11+10，故答案为：014写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）ysin（x）解：ysin（x），答案不唯一，正确即可15在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB120cm，AE100cm，EF80cm，FC60cm，AEFCFE60，则该矩形ABCD的面积为14400cm2（答案如有根号可保留）解：在AEF中，由余弦定理可得AF2（100）2+（80）2225200，可得AF60cm，由正弦定理可得，解得sinAFE，所以cosAFE，所以cos（AFE+60）cosAFEcos60sinAFEsin60，在AFC中，由余弦定理可得AC2AF2+FC22AFFCcosAFC
23、25200+36003+26057600，所以BC120cm，则矩形ABCD的面积为S12012014400cm2故答案为：1440016已知x0，f（x）x2+ex，g（x）（m2+1）x+lnx，若f（x）g（x）恒成立，则实数m的取值范围是，解：f（x）g（x）恒成立x2+exg（m2+1）x+lnx（x0）恒成立（m2+1）（x0）恒成立，令h（x）x+，则h（x），再令t（x）（x1）ex+x2+lnx1（x0），则t（x）xex+2x+0恒成立，yt（x）在（0，+）上单调递增，又t（1）h（1）0，当x（0，1）时，t（x）0，即h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x（
24、1，+）时，t（x）0，即h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增；h（x）minh（1）1+e，m2+11+e，解得：，故答案为：，四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB，且ABC外接圆的半径为1在b+c3，sinC2sinB，角B的平分线交AC于点D且CD：AD：2请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求角A和ABC的面积解：因为cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB，所以cos（A+B）+B+2sin（A+B）sinB，所以cos（A+B）
25、cosBsin（A+B）sinB+2sin（A+B）sinB，即cos（A+B）cosB+sin（A+B）sinB，所以cosA，因为A为三角形内角，所以A，因为ABC外接圆的半径为1，所以a2sinA，选b+c3，由余弦定理得a23b2+c2bc（b+c）23bc93bc，所以bc2，SABC；sinC2sinB，由正弦定理得c2b，由余弦定理得a23b2+c2bc3b2，所以b1，c2，SABC；角B的平分线交AC于点D且CD：AD：2，所以，所以c2，由余弦定理得a23b2+c2bc，所以b22b+10，即b1，SABC18已知等差数列an的前n项和为Sn，S990，a1020，数列bn
26、满足b16，bn+13bn4n，Tn为数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bnan1为等比数列；（3）若Tn3690恒成立，求n的最小值解：（1）等差数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，则有，解这个方程组可得，数列an的通项公式即为：an2n（nN*）（2）根据题意，可得bn+1an+11bn+12（n+1）13bn4n2n213bn6n3，即得数列bnan1是以bb1a116213为首项，公比为3的等比数列（3）由上可得，（nN*），3n+1+2n+30，Tn随着n的增大而增大，又T4144，T5398，所以使Tn3690Tn369恒成立的n的最小值为519
27、如图，四棱锥PABCD中，PA矩形ABCD，其中AD2，AB1，PA，点E为矩形ABCD的边BC上一动点（1）F为线段PD上一点，|PD|3|DF|，是否存在点E，使得EF平面PAB，若存在，请求出CE的长，若不存在，请说明理由；（2）若DEPE，求直线PC与平面PED所成角的余弦值解：（1）存在点E满足EF平面PAB，此时.证明如下：在线段PA上取一点M，使得PA3MA，因为PA3MA，PD3FD，所以MFAD且MF，又因为BEAD且BE，所以BEMF且BEMF，故四边形BEFM是平行四边形，所以EFMB，又EF平面PAB，MB平面PAB，所以EF平面PAB；（2）因为PA平面ABCD，又D
28、E平面ABCD，所以PADE，又DEPE，PAPEP，PA，PE平面PAE，所以DE平面PAE，又AE平面PAE，所以DEAE，设CEx，因为DE2+AE2AD2，解得x1，即E为BC的中点，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PED的法向量为，则有，即，令x1，则y1，故，所以直线PC与平面PED所成角的正弦值为，故直线PC与平面PED所成角的余弦值为20茂名市是著名的水果之乡，“高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理（1）若
29、商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n份（nN*）的函数解析式（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量（单位：份），整理得图若商铺计划一天准备170份或180份这种产品，用X表示准备170份的利润，Y表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由（以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率）解：（1）由题意可知y（nN），（2）若准备170份时，X的可能取值为1100，1300，1500，1700，P（X1100）0.1；P（X1300）0.2；P（X1500）0.2；P（X1700）0.5；E（X）11000.1+13000.2+
30、15000.2+17000.51520；若准备180份时，Y的可能取值为1000，1200，1400，1600，1800，P（Y1000）0.1；P（Y1200）0.2；P（Y1400）0.2；P（Y1600）0.14；P（Y1800）0.36；E（Y）10000.1+12000.2+14000.2+16000.14+18000.361492，以为E（X）E（Y），所以商铺应该准备170份21已知点N为圆C1：（x+1）2+y216上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2（1）求点M的轨迹方程；（2）过点A（2，0）且斜率为k（k0）的直线与点
31、M的轨迹交于A，G两点，点H在点M的轨迹上，GAHA，当2|AG|AH|时，证明：k2解：（1）如图示：2，P为C2N的中点，0，点M在C2N的垂直平分线上，|MN|MC2|，|MN|+|MC1|MC2|+|MC2|42，点M在以C1，C2为焦点的椭圆上，a2，c1，b，故M的轨迹方程是+1；（2）证明：将直线AG的方程yk（x+2）（k0）代入+1，得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2120，由x1（2），得：x1，故AG|x1+2|，而GAHA，得直线AH的方程为：y（x+2），故同理可得AH，由2|AG|AH|得：，即4k36k2+3k80，设f（t）4t36t2+3t8，则k是
32、f（t）的零点，f（t）12t212t+33（2t1）20，故f（t）在（0，+）上单调递增，又f（）15260，f（2）60，故f（t）在（0，+）上有唯一的零点，且零点k在（，2）内，故k2，原命题成立22已知函数f（x）mlnx+cos（x+），g（x）f（x）xcos（x+）（1）当x1时，若不等式g（x）ex1x1恒成立，求实数m的取值范围；（2）若存在两个不相等的正数x1，x2，使得f（x1）+x1f（x2）+x2，证明：2m解：（1）当x1时，g（x）ex1x1恒成立等价于mlnxex1+10，令h（x）mlnxex1+1，则，当m1时，xex11，mxex10，h（x）0，h（
33、x）在1，+）上单调递减，所以h（x）maxh（1）0，所以h（x）0恒成立当m1时，令t（x）mxex1（x1），t（x）ex1xex10，所以t（x）在1，+）上单调递减，t（x）maxt（1）m10，t（m）m（1em1）0，由零点存在性定理知，x01，m，使得t（x0）0，且x（1，x0）时，t（x）0，h（x）0，h（x）在（1，x0）上单调递增，所以h（x）h（1）0，不满足题意，舍去，综上，m1（2）证明：不妨设0x1x2，则lnx2lnx10，因为f（x1）+x1f（x2）+x2，所以，令P（x）xsinx（x0），P（x）1cosx0，P（x）在（0，+）上单调递增，P（x2）P（x1），所以x2sinx2x1sinx1，即x2x1sinx2sinx1，所以m（lnx2lnx1）x2x1，即，下证，令，即证，只需证，设，在（1，+）上恒成立，所以h（t）在（1，+）上单调递减，所以h（t）h（1）0，所以2m