1、2.3.2离散型随机变量的方差、标准差填一填1.离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)(xiE(X)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小2随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差
2、则是随机变量，是随样本的变化而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)4离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aXb)a2D(X).判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1离散型随机变量的期望E()反映了取值的概率的平均值()2离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平()3离散型随机变量的方差D()反映了取值的波动水平()4离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()5若a是常数，则D(a)0.()6若随
3、机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5，则D(X)为0.5.()7牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于0.196.()8若X为随机变量则D(XD(X)D(X)()想一想1.方差与标准差刻画了随机变量的什么特征？提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散的程度，D(X)(或)越小，稳定性越好，波动越小，显然D(X)0(0)2离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗？提示：不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位3随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？提
4、示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差4决策问题中如何运用均值与方差？提示：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定当然不同的情形要求不同，应视情况而定。思考感悟：练一练1.设随机变量XB，则D的值等于()A1 B2C. D4解析：随
5、机变量X服从二项分布所以DD(X)8.答案：C2已知X的分布列为X101P0.50.30.2则D(X)等于()A0.7 B0.61C0.3 D0解析：E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.答案：B3已知随机变量，D()，则的标准差为_解析：的标准差.答案：4已知随机变量的分布列如下表：101P则的均值为_，方差为_解析：均值E()x1p1x2p2x3p3(1)01，方差D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3.答案：知识点一用定义求离散型随机变量的方差1.设随机变量X的分布列为()X1234P则
6、D(X)等于()A. B.C. D.解析：由题意知，E(X)1234，故D(X)2222.答案：C2已知随机变量X的分布列如下：X101Pab若E(X)，则D(X)的值是()A. B.C. D.解析：由分布列的性质知ab1，ab.又E(X)a，a，b.D(X)222.答案：C知识点二方差的性质3.若随机变量X的方差为D(X)，则D(3X9)_.解析：由题意得D(3X9)9D(X)912.答案：124已知的分布列为：010205060P(1)求的方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)解析：(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(60
7、16)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.知识点三两点分布与二项分布的方差5.某运动员投篮命中率p0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为_解析：依题意知：X服从两点分布，所以D(X)0.8(10.8)0.16.答案：0.166设X的分布列为P(Xk)Ck5k(k0,1,2,3,4,5)，则D(3X)()A10 B30C15 D5解析：由P(Xk)Ck5k(k0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布XB所以D(X)5，D(3X)9D(X)10.答案：A7一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是
8、相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的期望与方差解析：(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且XB，E(X)62，D(X)6.(2)由已知Y30X，E(Y)30E(X)60，D(Y)900D(X)1 200.知识点四方差或标准差的实际应用8.已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X121012P0.050.050.80.050.05X221012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量解析：由题意得E
9、(X1)0，E(X2)0，E(X1)E(X2)D(X1)(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05(20)20.050.5，D(X2)(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2，D(X1)E()，D()D()，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好基础达标一、选择题1已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA.B.C. D.解析：由m2m1可得，m，所以E(X)01，D(X)22，故选B.(或D(X)p(1p)答案：B2已知随机变量满足P(1)
10、0.3，P(2)0.7，则E()和D()的值分别为()A0.6和0.7 B1.7和0.09C0.3和0.7 D1.7和0.21解析：E()10.320.71.7，D()(1.71)20.3(1.72)20.70.21.答案：D3已知随机变量，满足8，且服从二项分布B(10,0.6)，则E()和D()的值分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6解析：由已知E()100.66，D()100.60.42.4.因为8，所以8.所以E()E()82，D()(1)2D()2.4.答案：B4已知XB(n，p)，E(X)2，D(X)1.6，则n，p的值分别为()A100,0.8 B20,
11、0.4C10,0.2 D10,0.8解析：由题意可得解得q0.8，p0.2，n10.答案：C5若X是离散型随机变量，P(X x1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为()A. B.C3 D.解析：x1，x2满足解得或x1D()甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定答案：B二、填空题8若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为_解析：在一次试验中发生次数记为，则服从两点分布，则D()p(1p)，所以p(1p)0.25，解得p0.5.答案：0.59已知随机变量X的分布列为X01xPp且E(X)1.
12、1，则D(X)_.解析：由随机变量分布列的性质可得p1.又E(X)01x1.1，解得x2.所以D(X)(01.1)2(11.1)2(21.1)20.49.答案：0.4910抛掷一枚均匀硬币n(3n8)次，正面向上的次数服从二项分布B，若P(1)，则方差D()_.解析：因为3n8，服从二项分布B，且P(1)，所以Cn1，即nn，解得n6，所以方差D()np(1p)6.答案：11有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)_.解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X6)，P(X9)，P(X12)，则E(X)69127
13、.8，D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.答案：3.3612已知随机变量X的分列为X101P则下列结论正确的个数是_E(X)；E(X4)；D(X)；D(3X1)5；P(X0).解析：E(X)(1)01，E(X4)，故正确，错误D(X)222，D(3X1)9D(X)5，故错误，正确P(X0)P(X1)，故错误答案：2三、解答题13有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2.现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令Xxy.求：(1)X所取各值的概率；(2)随机变量X的均值与方差解析：(1)P(X0)；P(X1)；
14、P(X2)；P(X4).(2)X的分布列如下：X0124P所以E(X)01241.D(X)(01)2(11)2(21)2(41)2.14袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有5个，记上n号的有n个(n1,2,3,4,5)，现从袋中任取一球，用X表示所取球的标号(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若YaXb，E(Y)10，D(Y)59，试求a，b的值解析：(1)X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).所以X的分布列为X012345P故E(X)012345，D(X)222222.(2)由D(Y)a2D(X)，可得a259
15、，解得a4，又E(Y)aE(X)b，所以当a4时，104b，解得b1；当a4时，10(4)b，解得b21.综上，a4，b1或a4，b21.能力提升15.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，(100x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指
16、出x为何值时，f(x)取到最小值解析：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24；E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002)所以当x75时，f(x)取最小值3.16一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未
17、来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解析：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288；P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.