1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2.3独立重复试验与二项分布填一填1.n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率.判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1独立重复试验每次试验之间是相互独立的()2独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果()3独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的()4n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种()5n次独立重复
2、试验的每次试验的条件可以略有不同()6二项分布与超几何分布是同一种分布()7两点分布是二项分布的特殊情形()8已知随机变量X服从二项分布，XB，则P(X2)等于.()想一想1.怎样正确理解独立重复试验？提示：(1)独立重复试验满足的条件：第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛2二项分布与两点分布有什么关系？提示：(1)两点分布的试验次数只有一次
3、，试验结果只有两种：事件A发生(X1)或不发生(X0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，n次(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n1的二项分布3在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为何值？提示：P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.4王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？提示：
4、服从二项分布因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布5解决二项分布问题的关注点有哪些？提示：(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)二项分布，当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.(3)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公
5、式思考感悟：练一练1.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是()A. B.C. D.解析：P(2)C3210.故选A项答案：A2设随机变量XB(2，p)，YB(3，p)，若P(X1)，则P(Y1)_.解析：P(X1)1P(x0)1(1P)2，P，P(Y1)1P(Y0)13.3一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_(用数字作答)解析：至少3人被治愈的概率为C(0.9)30.1(0.9)40.947 7.答案：0.947 7知识点一独立重复试验的概念1.下列事件：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8
6、环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标，是独立重复试验的是()A BC D解析：、符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重复试验答案：D知识点二独立重复试验的概率2.任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A. B.C. D.解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为PC2.答案：B3某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X3)等于()AC2 BC2C.2 D.2解
7、析：X3表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率为2.答案：C4已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则(1)甲恰好击中目标2次的概率是_；(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是_(结果保留两位有效数字)解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C0.72(10.7)0.44.(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是C0.72(10.7)C
8、0.62(10.6)0.19.答案：(1)0.44(2)0.19知识点三二项分布5.下列随机变量X不服从二项分布的是()A投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数解析：选项A：实验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个
9、，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，举行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，XB(n,0,3)答案：B6设XB(3，p)，且P(X2)，则概率p等于()A. B.C. D.解析：由P(X2)Cp2(1p)，解得p.答案：A7某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)，求一天上网人数X的分布列解析：随机变量X的取值为0,1,2,3,4,5,6，由于上网是相互独立的，故XB(6,0.5)故P(X0)C0.5
10、0(10.5)6，P(X1)C0.51(10.5)5，P(X2)C0.52(10.5)4，P(X3)C0.53(10.5)3，P(X4)C0.54(10.5)2，P(X5)C0.55(10.5)1，P(X6)C0.56(10.5)0.X的分布列为X0123456P8.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数X的分布列；(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解析：(1)XB，X的分布列为P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.(2)至少遇到一次红灯的概率为P(X1)1P(X0
11、)15.基础达标一、选择题1小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是()A.B.C. D.解析：3次中恰有1次通过的概率为C2.答案：A2若XB(10,0.8)，则P(X8)()AC0.880.22 BC0.820.28C0.880.22 D0.820.28解析：P(X8)C0.880.22.答案：A3假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为()A. B.C. D.解析：此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以PC23.答案：B4已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6位同学，并且每个小
12、组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为，则该班的男生人数为()A24 B18C12 D6解析：设每个小组抽一名同学为男同学的概率为p，则由已知1(1p)6，即(1p)6，解得p，所以每个小组有64名男生，全班共有4624名男生答案：A5若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是()A. B.C. D.解析：PC32.答案：A6若随机变量B，则P(k)最大时，k的值为()A1或2 B2或3C3或4 D5解析：依题意P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.可以求得P(0)，P(1)，P(2)，
13、P(3)，P(4)，P(5).故当k2或1时，P(k)最大答案：A7位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为()A.5 BC5CC3 DCC5解析：质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C23C5.答案：B二、填空题8下列说法正确的是_(填序号)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且XB(10,0.6)；某福彩的中奖概
14、率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且XB(8，p)；从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且XB.解析：显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义答案：9设随机变量XB(2，p)，YB(3，p)，若P(X1)，则P(Y2)_.解析：由P(X1)得P(X1)P(X0)，即Cp0(1p)2，所以p，所以P(Y2)C23.答案：10如果XB，YB，那么当X，Y变化时，下面关于P(Xxk)P(Yyk)成立的(xk，yk)的个
15、数为_解析：根据二项分布的特点可知，(xk，yk)分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，(20,0)，共21个答案：2111一只蚂蚁位于数轴x0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x1处的概率为_解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x1处的概率为C21.答案：12在等差数列an中，a42，a74，现从an的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为_(用数字作答)解析：
16、由已知可求通项公式为an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a50，a6，a7，a8，a9，a10为负数，从中取一个数为正数的概率为，取得负数的概率为.取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C21.答案：三、解答题13某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率解析：(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)0.8.5次预报相当于5次独立重复试验“恰有2次准确”的概率为PC0.820.230.051 20.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)
17、“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为PC0.25C0.80.240.006 72.所以所求概率为1P10.006 720.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.14抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数点为P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2y216内的次数X的分布列解析：由题意可知，点P的坐标共有6636(种)情况，其中在圆x2y216内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，则点P在圆x2y216内的概率为.由题意可知X
18、B，所以P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列为X0123P能力提升15.“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列解析：(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头
19、)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P.(2)X的可能取值分别为0,1,2,3，XB，则P(X0)C3，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C3.X的分布列如下：X0123P16如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿
20、童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X，求X的分布列解析：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)共3种情况，P(A).某个家庭获奖的概率为.(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验XB.P(X0)C05，P(X1)C14，P(X2)C23，P(X3)C32，P(X4)C41，P(X5)C50.X的分布列为X012345P- 9 - 版权所有高考资源网