1、数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数
2、，建立函数关系求解.1.设 0a1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea1 的大小关系为()A.ea1aaeB.aeaea1C.aeea1aD.aea10，则 f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且 f(0)0，f(x)0，ex1x，即 ea1a.又 yax(0aae，从而 ea1aae.2.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g(x)，满足 g(x)g(x)1 的解集为_.答案(，0)解析 函数 g(x)的图象关于直线 x2 对称，g(0)g(4)1.设 f(x)gxex，则 f(x)gxexgxexex2gxgxex.又 g(x)g(x)0，f(x)f(0)，x2m
3、4x 恒成立，则 x 的取值范围是_.答案(，1)(2，)解析 t 2，8，f(t)12，3.问题转化为 m(x2)(x2)20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立，x2.令 g(m)m(x2)(x2)2，m12，3.问题转化为 g(m)在12，3 上恒大于 0，则g 12 0，g30，即12x2x220，3x2x220，解得 x2 或 x1.4.若 x2,1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _.答案 6，2解析 当2x0 时，不等式转化为 ax24x3x3.令 f(x)x24x3x3(2x0)，则 f(x)x28x9x4x9x1x4，故 f(x)在2，1上单调
4、递减，在(1,0)上单调递增，此时有 af(x)minf(1)14312.当 x0 时，不等式恒成立.当 0 x1 时，ax24x3x3，则 f(x)在(0,1上单调递增，此时有 af(x)maxf(1)14316.综上，实数 a 的取值范围是6，2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程组来解决.5.已知an是等差数列，a1010，其前 10 项和 S1070，则其公差 d 等于()A.23B.13C.13D.23答案 D解析
5、设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则a10a19d10，S1010a11092d70，即a19d10，2a19d14，解得 d23.6.已知在数列an中，前 n 项和为 Sn，且 Snn23 an，则 anan1的最大值为()A.3B.1C.3D.1答案 C解析 当 n2 时，Snn23 an，Sn1n13 an1，两式作差可得 ann23 ann13 an1，即 anan1n1n11 2n1.由函数 y1 2x1在(1，)上是减函数，可得 anan1在 n2 时取得最大值 3.7.在等差数列an中，若 a10,设 Snf(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7)f(17)知，f(n)
6、的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn 取最小值时 n 的值为 12.8.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S42，S63，则 nSn 的最小值为_.答案 9解析 由4a16d2，6a115d3解得 a12，d1，所以 Snn25n2，故 nSnn35n22.令 f(x)x35x22，则 f(x)32x25x，令 f(x)0，得 x0 或 x103，f(x)在0，103 上单调递减，在103，上单调递增.又n 是正整数，故当 n3 时，nSn 取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程组的思想；直线与
7、圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016全国)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案 B解析 不妨设抛物线 C：y22px(p0)，圆的方程设为 x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 2)，Dp2，5，点 A(x0，2 2)在抛物线 y22px 上，82px0，点 A(x0，2 2)在圆 x2y2r2 上，x208r2
8、，点 Dp2，5 在圆 x2y2r2 上，5 p22r2，联立，解得 p4(负值舍去)，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.10.如图，已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，若PAQ60，且OQ 3OP，则双曲线 C 的离心率为()A.2 33B.72C.396D.3答案 B解析 因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又OQ 3OP，则|OP|12|PQ|R.双曲线 C 的渐近线方程是 ybax，A(a,0)，所以点 A 到直线 ybax 的距
9、离dbaa0 ba212aba2b2，所以aba2b22(2R)2R23R2，即 a2b23R2(a2b2)，在OQA 中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R127R2a2.由a2b23R2a2b2，a27R2，得a27R2，b2214 R2，所以双曲线 C 的离心率为ecac2a2a2b2a21b2a21214 R27R2 72.11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线 ykx(k0)与 AB 相交于点D，与椭圆相交于 E，F 两点.若ED 6DF，则 k 的值为_.答案 23或38解析 依
10、题意得椭圆的方程为x24y21，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0).如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x10，x1x222k2k2，x1x21.由以 AB 为直径的圆过 F，得 AFBF，即 kAFkBF1，所以 y1x11y2x211，即 x1x2y1y2(x1x2)10，所以 x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把 x1x222k2k2，x1x21 代入得 2k210，解得 k 22，经检验 k 22 适合式.综上所述，k 22.一、数形结合思想在解方程或函数
11、零点问题中的应用讨论方程的解或函数零点的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.(2018咸阳模拟)函数 f(x)2x1x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案 B解析 在同一平面直角坐标系下，作出函数 y12x 和 y21x的图象，如图所示.函数 f(x)2x1x的零点个数等价于 2x1x的根的个数，等价于函数 y12x 和 y21x图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选 B.2.若关于 x 的方程|xx4kx2 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_.答案 14，解析 x
12、0 是方程的一个实数解；当 x0 时，方程|xx4kx2可化为1k(x4)|x|，x4，k0，设 f(x)(x4)|x|(x4 且 x0)，y1k，则两函数图象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|x24x，x0，x24x，x0，x4 的大致图象如图所示，由图可得 01k14.所以 k 的取值范围为14，.3.设函数 f(x)x2cos x，则方程 f(x)4所有实根的和为_.答案 2解析 由 f(x)x2cos x4，得x24cos x，令 y1x24，y2cos x.在同一坐标系内作出两函数图象(图略)，可知两图象只有一个交点2，0.方程 f(x)4的实根之和为2.4.已知函数 f(x)1
13、x2，x1，ln x，x1，若方程 f(x)mx12恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是_.答案 12，1e解析 方程 f(x)mx12恰有四个不相等的实数根可化为函数 f(x)1x2，x1，ln x，x1与函数 ymx12的图象有四个不同的交点，如图所示.由题意知，C0，12，B(1,0)，故 kBC12.当 x1 时，f(x)ln x，f(x)1x，设切点 A 的坐标为(x1，ln x1)，则ln x112x10 1x1，解得 x1 e，故 kAC 1e.结合图象可得，实数 m 的取值范围是12，1e.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性
14、并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国)设函数 f(x)2x，x0，1，x0，则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1,0)D.(，0)答案 D解析 方法一 当x10，2x0，即 x1 时，f(x1)f(2x)即为 2(x1)22x，即(x1)2x，解得 x1.因此不等式的解集为(，1.当x10，2x0时，不等式组无解.当x10，2x0，即1x0时，f(x1)f(2x)即 122x，解得 x0.因此不等式的解集为(1,0).当x10，2x0，即 x0 时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意.综上，不
15、等式 f(x1)f(2x)的解集为(，0).故选 D.方法二 f(x)2x，x0，1，x0，函数 f(x)的图象如图所示.由图可知，当 x10 且 2x0 时，函数 f(x)为减函数，故 f(x1)f(2x)转化为 x12x.此时 x1.当 2x0 且 x10 时，f(2x)1，f(x1)1，满足 f(x1)f(2x).此时1x0.综上，不等式 f(x1)f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0).故选 D.6.设 A，B 在圆 x2y21 上运动，且|AB|3，点 P 在直线 l：3x4y120 上运动，则|PAPB|的最小值为()A.3B.4C.175D.195答案 D解析 设 AB 的中
16、点为 D，由平行四边形法则可知PAPB2PD，所以当且仅当 O，D，P 三点共线时，|PAPB|取得最小值，此时 OP 垂直于直线 3x4y120，OPAB，因为圆心到直线的距离为12916125，|OD|13412，所以|PAPB|的最小值为 2125 12 195.7.若不等式|x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.答案，12解析 作出 y1|x2a|和 y212xa1 的简图，如图所示.依题意得2a22a，a10，故 a12.8.已知函数 f(x)x22ax，x1，2ax1，x1，若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)，则实数 a 的取
17、值范围为_.答案 0，)解析 根据题意知 f(x)是一个分段函数，当 x1 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为 xa；当 x1 时，如图(1)所示，符合题意；当 0a1 时，如图(2)所示，符合题意；当 a0).若圆C上存在点P，使得 APB90，则 m 的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2m，因为APB90，连接 OP，可知|OP|12|AB|m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为
18、6.10.设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点分别为 A1，A2，左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2 为直径的圆与直线 PF2 相切，则双曲线 C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案 D解析 如图所示，设以 A1A2 为直径的圆与直线 PF2 的切点为 Q，连接 OQ，则 OQPF2.又 PF1PF2，O 为 F1F2 的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在 RtF1PF2 中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得 4a216a220a24c2，
19、即 eca5.11.已知抛物线的方程为 x28y，F 是其焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使APF的周长最小，此时点 P 的坐标为_.答案 2，12解析 因为(2)21，设 af(2)1，bef(3)1，则 a，b 的大小关系为()A.abC.abD.无法确定答案 A解析 令 g(x)exf(x)ex，则 g(x)exf(x)f(x)10，即 g(x)在 R 上为增函数.所以 g(3)g(2)，即 e3f(3)e3e2f(2)e2，整理得 ef(3)1f(2)1，即 ab.2.(2018宣城调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则
20、有()A.f 32 f 14 f 14B.f 14 f 14 f 32C.f 32 f 14 f 14D.f 14 f 32 f 14答案 C解析 因为 f(x2)f(x)f(x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又 T4，作图，由图知 f 32 f 14 0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，若FB2FA，|FA|3 2，则该双曲线的标准方程为()A.x26y2181B.x218y261C.x218y2121D.x218y2181答案 A解析 如图，因为FB2FA，所以 A 为线段 FB 的中点，所以23，又13，所以 31180
21、，所以160，所以ba 3，又|FA|3 2，所以 b3 2，a 6，所以该双曲线的标准方程为x26y2181，故选 A.4.过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 作直线 ybax 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若FB2FA，则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.5D.7答案 C解析 设 F(c,0)，则直线 AB 的方程为 yab(xc)，代入双曲线渐近线方程 ybax，得Aa2c，abc.由FB2FA，可得 B2a2c2c，2abc，把 B 点坐标代入x2a2y2b21，得2a2c22a2c24a2c2 1，c25a2，离心率 eca 5.5.如果实数 x，
22、y 满足(x2)2y23，则yx的最大值为()A.12B.33C.32D.3答案 D解析 方程(x2)2y23 的几何意义为平面直角坐标系内的圆，圆心为 M(2,0)，半径为 r3(如图)，而yxy0 x0则表示圆 M 上的点 A(x，y)与坐标原点 O(0，0)的连线的斜率.所以该问题可转化为动点 A 在以 M(2,0)为圆心，以 3为半径的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值.由图可知当OAM 在第一象限，且直线 OA 与圆 M 相切时，OA 的斜率最大，此时 OM2，AM 3，OAAM，则 OA OM2AM21，tanAOMAMOA 3，故yx的最大值为 3，故选 D.6.已知函数 f
23、(x)|lg(x1)|，若 1ab 且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围为()A.(32 2，)B.32 2，)C.(6，)D.6，)答案 C解析 由图象可知 b2,1a2，lg(a1)lg(b1)，则 a bb1，则 a2b bb12b2b2bb1 2b123b11b12(b1)1b13，由对勾函数的性质知，当 b22 1，时，f(b)2(b1)1b13 单调递增，b2，a2b bb12b6.7.(2018东莞模拟)已知函数 f(x)x2x，x1，x23x2，x0 时，不等式 f(x)mx 不恒成立，设过原点的直线与函数 f(x)x23x2(x0 时能成立，令 g(x)ex(x23x
24、3)，则 ag(x)min，而 g(x)ex(x2x)，由 g(x)0，可得 x(，0)(1，)，由 g(x)0，可得 x(0,1).据此可知，函数 g(x)在区间(0，)上的最小值为 g(1)e，ae.综上可得，实数 a 的最小值为 e.9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.答案 2 3解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为 a，高为 h.则该正四棱锥的体积 V13a2h323，故 a2h32，即 a232h.则其侧棱长为 l2a22h216h h2.令 f(h)16h h2，则 f(h)16h22h2h316h2，令 f(h)0，解得 h2.当 h(0,2)时，f
25、(h)0，f(h)单调递增，所以当 h2 时，f(h)取得最小值 f(2)162 2212，故 lmin 122 3.10.若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.答案(0,2)解析 由 f(x)|2x2|b 有两个零点，可得|2x2|b 有两个不等的实根，从而可得函数 y1|2x2|的图象与函数 y2b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得 0b0 在(2，)上恰成立，则实数 a 的取值集合为_.答案 1,3解析 关于 x 的不等式 x4x1a22a0 在(2，)上恰成立函数 f(x)x4x在(2，)上的值域为(a22a1，).由 f(x)x4x，x(2，)，可得 f(x)14x2x24x2 0，所以 f(x)x4x在(2，)上为增函数，所以 f(x)f(2)4.又关于 x 的不等式 x4xa22a1 在(2，)上恰成立，所以 a22a14，解得 a1 或 a3.