1、1.2.2组合第二课时组合的综合应用填一填1.组合的有关概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数用符号C表示，其公式为C.(m，nN*，mn)，特别地CC1.2组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关3应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算(4)结论：根据计算结果写出方案个数.判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1从3个不同的小
2、球中，取出2个排成一列共有6种排法()2老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌为组合问题()3在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星9 900种不同选法()4从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地共有C安排方法()5若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有A分配方法()6某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有AA种()7设集合Aa1，a2，a3，a4，a5，则集合A中含有3个元素的子集共有C个()8从0,1,2,3,4,5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数
3、，这样的三位数有30个()想一想1.从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？这是排列问题，还是组合问题？提示：共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘组合问题2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？提示：共有A210(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多
4、少个不同的结果？提示：由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果4解决排列、组合综合问题要遵循两个原则提示：按事情发生的过程进行分步：按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，
5、即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数思考感悟：练一练1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A120 B84C52 D48解析：间接法：CC52种答案：C2编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A60种 B20种C10种 D8种解析：四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C10.答案：C3某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋
6、友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种 D20种解析：分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C6种方法；选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C4种方法，所以不同的赠送方法共有6410种，故选B项答案：B4在直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个解析：在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个答案：225知识点一有条限制的组合问题1.某地发生了重大交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员
7、，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法；根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，
8、共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法2从8名男生和6名女生中挑选3人，最多选2名女生的不同选法种数为()A288 B344C364 D624解析：直接从14名学生中挑选3人，有C种选法，其中超过2名女生的选法只有选出3名女生，有C种选法，所以共有CC344(种)不同的选法答案：B知识点二分组分配问题3.6本不同的书
9、，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本解析：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC90种分法(2)可以分两步完成：第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份2本，一共有15
10、种分法(3)这是“不均匀分组”问题，按照(1)的方法得到一共有CCC6(52)160种分法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种分法4将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解析：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有444444256种放法(2)这是全排列问题，共有A24种放法(3)法一：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的
11、三个盒子，有A种投放方法，故共有A144种放法法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA144种放法(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12种放法.知识点三几何中的组合问题5.平面上4条平行线与另外5条平行线互相垂直，则它们构成的矩形共有_个解析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行线中任取两条，有C种取法；第二步，再在另外5条平行线中任取两条，有C种取法这样取出的四条直线构成一
12、个矩形，由分步乘法计数原理知构成的矩形共有CC60(个)故填60.答案：606已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A36个 B72个C63个 D126个解析：此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形每个四边形的对角线的交点即为所求，所以交点有C126(个)答案：D知识点四排列与组合综合问题7.用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？解析：法一(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A
13、种方法故所有适合条件的五位数有CCA个(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法根据分类加法计数原理，共有CCAACCA11 040个符合要求的数法二(间接法)：如果对0不限制，共有CCA种，其中0居首位的有CCA种故共有CCACCA11 040个符合条件的数8为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有()A90种 B180种C
14、30种 D15种解析：将5种调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有A种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为A90，故选A项答案：A基础达标一、选择题1从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为()A18B200C2 800 D33 600解析：从5种主料中选2种，有C10种方法，从8种辅料中选3种，有C56种方法，根据分步乘法计数原理得烹饪出不同的菜的种数为105652 800，选C.答案：C2假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为
15、()A30 B21C10 D15解析：用“隔板法”，在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C15种分配方法答案：D3某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28解析：法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49种选法法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法是CC843549(种)答案：C4从甲、乙等5人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是()A12 B24C3
16、6 D48解析：若不选甲，则排法种数为A24；若选甲，则先从后两个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2人排列，排法种数为CA24.由分类加法计数原理，可得不同的排法种数为242448.故选D项答案：D5如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组，其中可以构成三角形的组数为()A208 B204C200 D196解析：任取3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为：C3C8C200，故选C项答案：C6由0,1,2,3,5这5个数字
17、组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的个数为()A16 B18C24 D36解析：由题意知，满足条件的三位数可分为两类：第一类：三个数字中一个奇数两个偶数，有CCCA个不同的三位数；第二类：三个数字均为奇数有A个不同的三位数由分类加法计数原理知，满足条件的三位数有CCCAA18个，故选B项答案：B7周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经是我国古代数学的重要文献现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到周髀算经的分配方法共有()A18种 B24种C30种 D36种解析：先不考虑限制条件，则共有CA36种方法，若甲分到周髀算经，有两种情况：甲分到1本(只有周髀
18、算经)，此时共有CA6种方法；甲分到2本(包括周髀算经)，此时共有A6种方法，则分配方法共有366624种答案：B二、填空题8从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若，则这组学生共有_人解析：设有学生n人，则，解之得n15.答案：159某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有_种不同的选修方案(用数字作答)解析：分类：第一类：从A，B，C中选1门，从另6门中选3门，共有CC种第二类：从另6门中选4门，有C种由分类加法计数原理知，共有CCC75(种)答案：7510现有16张
19、不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_解析：含1张红色卡片，有CC264(种)不同取法；不含红色卡片有C3C208(种)取法，共有264208472(种)取法答案：47211在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：只需看3张有奖的分配情况就可以，有两类4人中每人至多1张有奖，共有A43224(种)4人中，有1人2张有奖，还有1人1张有奖，其余的2人无奖共有分法：CA34336.总之，共有243660种答案：6012
20、对所有满足1mn5的自然数m，n，方程x2Cy21所表示的不同椭圆的个数为_解析：1mn5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，其中CC，CC，CC，CC，方程x2Cy21能表示的不同椭圆有6个答案：6三、解答题13在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加解析：(1)C792(种)不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36(种)不
21、同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C126(种)不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3(种)选法，再从另外的9人中选4人有C(种)选法，共有CC378(种)不同的选法(5)法一(直接法)：可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有CC种；共有CCCCCC666(种)不同的选法法二(间接法)：12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人不能参加的有C种，所以，共有CC666(种)不同的选法14已知平面M内有4个点，平面N内有5个
22、点，则这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？解析：(1)可分三类：第一类：平面M中取一点，N中取两点，最多可确定CC个第二类：平面M中取两点，N中取一点，最多可确定CC个第三类：平面M和平面N，共2个故最多可确定CCCC272(个)平面(2)法一(直接分数法)：分三类：第一类：平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定CC个第二类：平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定CC个第三类：平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定CC个故最多可确定平面CCCCCC120(个)法二(间接法)：CCC120(个).能力提升15.在某次数字测验中，记座号为n(n1,2,3,4)的同
23、学的考试成绩为f(n)若f(n)70,85,88,90,98,100，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则这4位同学考试成绩的所有可能有多少种？解析：f(1)f(2)f(3)f(4)可分为f(1)f(2)f(3)f(4)；f(1)f(2)f(3)f(4)两种情形对于，只需在集合中取4个数字，有C种，对于，只需在集合中取3个数字，有C种即不同的取法共有CC35(种)16“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13 456和35 678都是五位的“渐升数”)(1)求五位“渐升数”的个数；(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”解析：(1)根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应1个“渐升数”，则共有C126(个)五位“渐升数”(2)对于这些“渐升数”，1在首位的有C70(个)，2在首位的有C35(个)，3在首位的有C15(个)对于3在首位的“渐升数”，第二位是4的有C10(个)，第二位是5的有C4(个)因为7035104119，所以第120个“渐升数”是36 789.