1、1.2.2组合第一课时组合与组合数公式填一填1.组合及组合数的定义(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示2组合数公式及其性质公式展开式C阶乘式C性质性质1CC性质2CCC备注n，mN*且mn；规定：C1判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.()2从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积()3C54360.()4CC2
2、017.()510个人相互写一封信，共写出了C封信()610个人相互通一次电话，共通了A电话()7从10个人中选3人去开会，有C种选法()8从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有A种选法()想一想1.排列与组合之间的区别和联系是什么？提示：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素，这是排列，组合的共同点；它们的不同点是：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合2“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc”与“acb”的元素相同
3、，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列3我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数4两个组合是相同组合的充要条件是什么？提示：只要两个组合中的元素安全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合5判断组合与排列的依据是什么？提示：判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的
4、是排列问题，与顺序无关的是组合问题思考感悟：练一练1.判断问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解析：(1)是组合问题由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序2求值：3C2C
5、.解析：3C2C32148.3求值：CCCC.解析：利用组合数的性质CCC，则CCCCCCCCCCCCCC1329.4求值：CC.(提示：先求n的范围，再确立n的值进而求值)解析：解得4n5.又因为nN*，所以n4或n5.当n4时，原式CC5.当n5时，原式CC16.知识点一组合的概念1.给出下列问题：(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，
6、有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解析：(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题(2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题(3)3人分别担任三个不同职务、有顺序，是排列问题(4)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题.知识点二组合数公式2.计算：CCC.解析：原式CC1564 9505 006.3下列计算结果为21的是()AAC BCCA DC解析：C21.答案：D知识点三组合数性质4.CCCCCC.解析：原式2(CCC)2(CC)232.5证明：CC2CC.解析：法一：左边(nm)(nm1)m(m1)2(m1)(nm1)(n2)(n1)C右边
7、，原结论得证法二：利用公式CCC推得左边(CC)(CC)CCC右边.知识点四6.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手_次解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C15次答案：157现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45种(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选
8、出的2名是女教师有C种方法根据分类加法计数原理，共有CC15621种不同选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法CC90种基础达标一、选择题1以下四个命题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地解析：只有从100位幸运观众选出2位幸运之星，与顺序无关，是组合问题答案：C2计算CCC等于()A120 B240C60 D480解析：CCC，原式CCC120.答
9、案：A3如果C28，则n的值为()A9 B8C7 D6解析：C，28，即n2n560，解得n8.答案：B4(CC)A的值为()A6 B101C. D.解析：(CC)A(CC)AC(CA).答案：C5某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()AC种 BA种CAA种 DCC种解析：每个被选的人都无顺序差别，是组合问题分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法故共有CC种不同的选法答案：D6方程CC的解为()A4 B14C4或6 D14或2解析：由题意知或解得x4或6.故选C.答案：C7从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面
10、体的个数为()A70 B64C58 D52解析：四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C1258.故选C项答案：C二、填空题810个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：先选甲组有C，再选2组C，不同分组方法有CC210种答案：2109若A12C，则n_.解析：因为An(n1)(n2)，Cn(n1)，所以n(n1)(n2)6n(n1)又nN*，且n3，所以n8.答案：810若C：C：C3：4：5，则nm_.解析：由题意知由组合数公式得解得所以nm622735.答案：3511不等式Cn5的解集为_解析：由Cn5，得n5，
11、n23n100，解得2n5.由题设条件知n2，且nN*，n2,3,4.故原不等式的解集为2,3,4答案：2,3,412某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有_条解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条答案：126三、解答题13试判断下列问题是组合问题还是排列问题(1)从a、b、c、d
12、四名学生中选2名学生完成同一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a、b、c、d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(4)a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题14(1)解方程：CCA；(2)解不等式：.解析：(1)原方程可化为CA，即CA，x2x120，解得x4或x3，经检验知
13、，x4是原方程的解(2)将原不等式化简可以得到.由x5，得x211x120，解得5x12.xN*，x5,6,7,8,9,10,11.能力提升15.设xN*，求CC的值解析：由题意可得：解得2x4.xN*，x2或x3或x4.当x2时原式的值为4；当x3时原式的值为7；当x4时原式的值为11.所求的值为4或7或11.16某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？解析：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场综上，共有48842264场比赛