1、12.1排列第二课时排列的综合应用填一填1.排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn)An(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.2排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列法3解简单的排列应用题的基本思想判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)110个学生排队照相，则不同的站法有A种()2从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有
2、A种()3从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有A种()4从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得A个不同的点的坐标()5平面上有5个点，任意三点不共线，最多可确定20条射线()6平面上有5个点，任意三点不共线，最多可确定10条直线()7从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有60种不同的送法()8从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有125种不同的送法()想一想1.求解有关排列的实际应用问题的步骤是什么？提示：第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序，也即看当选出
3、的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数2有条件限制的排列问题经常用到的方法有哪些？提示：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、定序排列用除法、分排问题直接法3用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的六位奇数？提示：法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA288(个)六位奇数法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排
4、法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA288(个)六位奇数法三：排除法6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A3A3A288(个)4两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_提示：分3步进行分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2种排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2种排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A6种排法则共有22624
5、种排法思考感悟：练一练1.89909192100可表示为()AA BACA DA解析：89909192100A.答案：C2从5本不同的书中选2本送给2名同学，共有_种不同的送法()A20 B15C10 D5解析：从5本书选2本给2个人相当于从5个元素选出2个进行排列有A20，故选A项答案：A3把2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有_种不同的投法把2封信随意投入4个邮箱，有_种不同的投法答案：121646个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有多少种？解析：A654321720种知识点一无限制条件的排列问题1.利用1,2,3,4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字
6、的三位数？解析：本题实质是求从1,2,3,4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A43224种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数2把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A2 160种 B240种C720种 D120种解析：有A720种不同的分法答案：C知识点二排队问题3.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起(4)全体排成一行，男、女各不相邻(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从
7、左至右的顺序不变(6)排成前后二排，前排3人，后排4人解析：(1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择有A种，其余6人全排列，有A种由分步乘法计数原理得AA2 160种(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种则符合条件的排法共有AAAA3 720种(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A种排法，共有AA720种(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有AA144种(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、
8、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有ANA，N840种(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A5 040种.知识点三排列的综合应用4.用1,2,3，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B224C360 D648解析：先排个位数，有A种，然后排十位和百位，有A种，故共有AA224个没有重复数字的三位偶数答案：B5已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A240种 B360种C480种 D720种解析：先排甲，有4种；剩余5人全排列有A
9、120(种)，所以不同的演讲次序有4120480(种)故选C项答案：C6将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为()A480 B360C120 D240解析：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A720(种)，甲、乙、丙的排列有A6(种)，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有2240(种)故选D项答案：D7六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为_解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A432124种答案：248有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担任语文、数学
10、、英语、物理学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：由题意知，从剩余10人中选出3人担任3个学科课代表，有A720种答案：7209用0,1,2,3,4五个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？解析：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有455552 500(个)(2)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，故共有AA96(个)(3)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中
11、选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有AAA36(个)基础达标一、选择题1用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有()A48个 B64个C72个 D90个解析：有AA72个无重复数字的五位偶数答案：C2有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有()AA种 BAA种CAAA种 DAAA种解析：把品种相同的画看成整体，水彩画不能放在两端，故只能放在中间，所以油画与国画放两端，有A种放法，再考虑油画与国画内部本身又可以全排列，故排列的方法共有AAA
12、种答案：C3小明申请了一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字和三个字母组成密码，数字是从1,2,3,4,5中选三个，字母是用x，y，z，而且字母安排在前面，数字放在后面，则他可选用的密码个数共有()AA BACAA DAA解析：分两步：第1步可从5个数字中选取3个安排最后三个位置，有A种；第2步把3个字母安排在前三个位置，有A种，所以共有AA个密码答案：D4三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为()A144 B72C36 D12解析：先将三位老师排好，共有A种排法，再将3名学生排在靠左的3个空里或靠右的3个空里，共有2A种排法，所以共有
13、A2A72种不同的排法答案：B5将甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()A20种 B30种C40种 D60种解析：分类完成：甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A种排法；甲排周二，乙、丙有A种排法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种排法，故共有AAA20种不同的安排方法答案：A6将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A12种 B20种C40种 D60种解析：五个元素没有限制全排列数为A
14、，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有240种答案：C7从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程1中的a和b，则能组成落在矩形区域B(x，y)|x|11，且|y|9内的椭圆个数为()A43 B72C863 D90解析：在1,2,3，8中任取两个作为a和b，共有A56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，8中取一个作为b，共有AA16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆个数为561672.答案：B二、填空题8有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须
15、担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：某女生担任语文课代表，从剩余7人中选四人分别担任剩余几科的课代表共有A7654840种安排方法答案：8409现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员问车辆、司机、售票员搭配方案共有_种解析：分两步安排司机共有A种安排，下一步安排售票员有A，共有AA36种不同搭配方案答案：3610某大学数学系进行了一场数学史知识竞赛，其中在选手综合素质测试中，有道题是这样的：把数学史上的四本名著数书九章几何原本数学汇编多角数分别与它们的作者秦九韶、欧几里德、帕波斯、丢番图连线，至多连对两个的种数是_解析：间接法：如果不加条件限
16、制，那么连线的不同种数有A，但是这里面有不符合条件(条件是至多连对两道即连对两道、连对一道、一道都没有连对)的情况，就是四道题都连对了，这种情况只有一种，所以至多连对两道共有A123种连法答案：2311从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有_个解析：若得到二次函数，则a0，a有A种选择，故二次函数有AA33218(个)答案：1812在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_个解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)，(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字其余两
17、位无任何限制，所以共有8A448 (个)答案：448三、解答题13一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解析：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA14 400种(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有AAA37 440种1
18、4从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？解析：先考虑组成一元二次方程的问题首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程AA48(个)方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可以从1,3,5,7中任取两个，有A种；当c0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种；当b取7时，a，c可取1,3，或1,5这两组数，有2A种此时共有(A2A)个由分类加法计数原理
19、知，有实根的一元二次方程共有：AA2A18(个).能力提升15.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有多少种？解析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A504种排法，其中上午连排3节的有3A18种，下午连排3节的有2A12种，则这位教师一天的课的所有排法有5041812474种16已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品(1)若恰在第2次测试时找到第一件次品，第8次测试时才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6
20、次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？解析：(1)第1步，第2次测试到第一件次品有4种方法；第2步，第8次测试到最后一件次品有3种方法；第3步，第3次至第7次测试到剩余两件次品有A种方法；第4步，剩余4次测试中测试到的全是正品，有A种方法根据分步乘法计数原理，不同的测试方法的种数为43AA86 400(种)(2)若检测4次可测出所有次品，则不同的测试方法有A种；若检测5次可测出所有次品，则不同的测试方法有4AA种；若检测6次可测出所有次品，包括检验6次时测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有(4AAA)种由分类加法计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A4AA4AAA8 520(种)