1、第二章推理与证明测试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1abcd的一个必要不充分条件是()AacBbcCac且bd Dac或bd解析：若abcd，则a，b中必有一个数大于c，d中一个数；ac或bd；而ac，或bd得不到abcd，比如取a3，c2，b1，d5，得到的是abc或bd是abcd的必要不充分条件，故选D.答案：D2若Sk，则Sk1为()ASkBSkCSkDSk解析：Sk，Sk1Sk.故选C.答案：C3法国数学家费
2、马观察到22115,222117,2231257,224165537都是质数，于是他提出猜想：任何形如22n1(nN*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数225142949672976416700417不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明()A归纳推理，结果一定不正确B归纳推理，结果不一定正确C类比推理，结果一定不正确D类比推理，结果不一定正确解析：由于费马猜想是由几个数值，根据这几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理，由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选B.答案：B4用反证法证明
3、“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”，故选D.答案：D5若数列an是等差数列，bn，则数列bn也为等差数列，类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdnDdn解析：由类比所给的性质知，若正项数列cn是等比数列，
4、且dn也是等比数列，则dn的表达式应为dn，故选D.答案：D6有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是()A甲 B乙C丙 D无法确定解析：因为甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，所以甲、乙两人的话一定一真一假，又因为三个人中只有一个说的是真话，所以丙说的话“我不是班长”为假话，由此可得班长是丙，故选C.答案：C7若，则ABC是()A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个角为30的等腰三角形解析：，由正弦定理，得，sin Bcos B，sinCcosC，BC45，ABC为等腰直角三角形，故选C
5、.答案：C8下列推理过程属于演绎推理的有()数列an为等比数列，所以数列an的各项不为0；由112,1322,13532，得出135(2n1)n2；由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；通项公式形如ancqn(cq0)的数列an为等比数列，则数列2n为等比数列A0个 B1个C2个 D3个解析：由演绎推理的定义知，、两个推理为演绎推理，为归纳推理，为类比推理，故选C.答案：C9设数列a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A0 B.C. D1解析：假设a、b、c都大于，则abc1，这与已知abc1矛盾，假设a、b、c都小于
6、，则abcQ BPQCPQ D由a的取值确定解析：P，Q(a0)，P2Q2()2()2(2a52)(2a52)220，P2Q2，P606060180，这与三角形内角和为180相矛盾；所以三角形的内角中至少有一个不大于60；假设三角形的三个内角A，B，C都大于60.正确顺序的序号为_解析：反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，所以正确步骤是.答案：14对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335，337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519，m3(mN*)的分解中最小的数是21，则m
7、n的值为_解析：依题意，得n2100，n10，又m321m2，整理，得(m5)(m4)0，mN*，m5，mn51015.答案：1515在平面内，点P，A，B三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一对实数x，y，满足向量关系式x y，且xy1.类比以上结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一组实数x，y，z满足向量关系式_解析：此类比仅是数量的变化，即在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O，有且只有一组实数x，y，z满足向量关系式xyz，且xyz1.答案：xyz，且xyz116给出下列推理：(1)三角形的内角和
8、为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸n边形的内角和为(n2)180；(2)三角函数都是周期函数，ytan x是三角函数，所以ytan x是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行其中属于合情推理的是_(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断，因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)是演绎
9、推理，故属于合情推理的是(1)(3)(4)答案：(1)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17(10分)已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负实数，因为abcd1，所以a，b，c，d0,1，所以ac，bd，所以acbd1，这与已知acbd1相矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数18(12分)用数学归纳法证明11n(nN*)证明：(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1
10、)，即nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立19(12分)设函数f(x)x3，x0,1证明：(1)f(x)1xx2；(2)，所以f(x)，综上，0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)用反证法证明c.证明：(1)f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，方程f(x)0有两个不相等的实数根x1，x2，又f(c)0，x1c是方程的一个根又x1x2，x2.是f(x)0的一个根，即是函数f(x)的一个零点(2)假设0，0c，当0x0，f0.这与f0矛盾，c，又c，c.22(12分)已知函数f(x).(1)计算f(3)，f(4)，f及f的值；(2)由(1)的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；(3)求值f(1)f(2)f(2 017)fff.解析：(1)f(3)，f(4)，f，f.(2)由f(3)f2，f(4)f2，猜想：f(x)f2.证明如下：因为f(x)，所以f，所以f(x)f2.(3)因为f(x)f2，所以f(2)f2，f(3)f2，f(2 017)f2，又f(1)1，故f(1)f(2)f(2 017)fff12 01624 033.