1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价七极大值与极小值 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是()A.在(1,2)上函数f(x)为增函数B.在(3,4)上函数f(x)为减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点【解析】选D.由题图可知,当1x0,当2x4时,f(x)0,当4x0,所以x=2是函数f(x)的极大值点,x=4是函数f(x)的极小值点,
2、故A,B,C正确,D错误.【拓展延伸】图象信息题的处理思路(1)给出函数图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f(x)的图象.(2)若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极值点,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.2.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是()A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选D.f(x)=-2x-3x2,令f(x)=0有x=0或x=-.当x-时,f(x)0;当-x0;当x0时,f(x)0,右侧f(x)0,右侧f
3、(x)0,那么f(x0)是极小值D.如果f(x0)=0且在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极大值【解析】选B.根据极值的概念,在x0附近的左侧f(x)0,单调递增;右侧f(x)0,得x2或x0;令f(x)=3x2-6x0,得0x2,所以函数f(x)在区间(-,0)和(2,+)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和极小值-4.所以正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=x2e-x的极大值为_,极小值为_.【解析】函数f(x)的定义域为R.f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令
4、f(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)-0+0-f(x)0从表中可以看出,当x=0时,函数f(x)有极小值,且f(0)=0;当x=2时,函数f(x)有极大值,且f(2)=.答案:0【补偿训练】1.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值为0,则m+n=_.【解析】因为f(x)=3x2+6mx+n,依题意有即解得或检验知当时,函数没有极值.所以m+n=11.答案:112.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m-1,1,则f(m)的最小值为_.【解析】因为f(x)=-3x
5、2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值得f(2)=0,即-34+2a2=0,故a=3.所以f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以对m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.答案:-47.已知三次函数f(x),当x=1时,有极大值4,当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则f(x)的解析式为f(x)=_.【解析】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)=3ax2+2bx+c,由题意知解得所以f(x)=x3-6x2+9x.答案:x3-6x2+9x8.若函数f(x)=x3-3x2+mx在区间
6、(0,3)内有极值,则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)=3x2-6x+m,有对称轴为x=1.若函数f(x)=x3-3x2+mx在(0,3)内有极值,则解得-9m0,右侧f(x)0f(x0)是极大值在x0附近的左侧f(x)0f(x0)是极小值10.已知函数f(x)=(x-2)ex-x2+x+2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值.(2)证明:当x1时,f(x)x3-x.【解析】(1)f(x)=(x-1)(ex-1),当x1时,f(x)0,当0x1时,f(x)0,u(x)在1,+)上单调递增,u(x)u(1)=e-20,所以g(x)=(x-1)0,g(x)=f(x)-x3+x在1,+)上单
7、调递增.g(x)=f(x)-x3+xg(1)=-e0,所以f(x)x3-x. (20分钟40分)1.(5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是()【解析】选D.因为y=f(x)ex=f(x)ex+f(x)(ex)=f(x)+f(x)ex,且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f(-1)=0;图象D中,f(-1) 0,f(-1)0,不满足f(-1)+f(-1)=0.2.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2
8、,0),如图所示,则下列结论正确的是()A.当x=时函数取得极小值;B.f(x)有两个极值点;C.当x=2时函数取得极小值;D.当x=1时函数取得极大值.【解析】选BCD.由题图可以看到:当x(-,1)时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有A不正确.3.(5分)函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为_.【解析】函数f(x)=x2ex的导数f(x)=2xex+x2ex=xex(2+x).令f(x)=0,得x=0或x=-2.f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-
9、,-2),(0,+)上单调递增.所以0和-2是函数的极值点.因为f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点,所以a-2a+1或a0a+1,解得-3a-2或-1a0.答案:(-3,-2)(-1,0)4.(5分)已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=ln x-a(aR).则当a=1时,函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值为_.【解析】函数h(x)的定义域为(0,+),当a=1时,h(x)=f(x)-g(x)=x2+x-ln x+2,所以h(x)=2x+1-=,所以当0x时,h(x)时,h(x)0,所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数h(x)取得极
10、小值为+ln 2.答案:+ln 25.(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x(x0),故f(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a,f(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x0),f(x)=x-5+=.令f(
11、x)=0,解得x1=2,x2=3.当0x3时,f(x)0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时,f(x)0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.6.(10分)已知函数f(x)=图象上斜率为3的两条切线间的距离为,f(x)的导数为f(x),函数g(x)=f(x)-+3.(1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式.(2)若函数g(x)在-1,1上是增函数,且b2-mb+4g(x)在-1,1上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=x2,所以由x2=3得
12、x=a,即切点坐标为(a,a),(-a,-a),所以切线方程为y-a=3(x-a)或y+a=3(x+a),整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0.所以=解得:a=1,所以f(x)=x3,f(x)=3x2,所以g(x)=x3-3bx+3.(1)因为g(x)=3x2-3b,又因为g(x)在x=1处有极值,所以g(1)=0,即312-3b=0,解得b=1,所以g(x)=x3-3x+3.(2)因为函数g(x)在-1,1上是增函数,所以g(x)=3x2-3b在-1,1上恒大于0,所以(3x2-3b)min=302-3b0,所以b0.又因为b2-mb+4g(x)在-1,1上恒成立,所以b2-mb+4g(1),即b2-mb+44-3b,所以mb+3在b(-,0上恒成立,所以m3,所以m的取值范围是3,+).关闭Word文档返回原板块
